2.6 闭区间上连续函数的性质

§2.6闭区间上连续函数的性质).(证明略闭区间上的整体性质函数的连续性还反映在性质该点某一领域内的局部函数在一点连续只是在第二章Th2.5].,[,)(,)(,)(],,[,,],[)(,],[)(2121baxMxfmmxfMxfbaxxmMbaxfbaxf且使得即存在和最小值上必有最大值在那么上连续在设Th2.4.],[)(,],[)(上有界在那么上连续在设baxfbaxf.,)(侧连续性的连续性是指相应的单在端点这里baxf(最值定理)(有界定理)函数有最大、最小值。有界函数；和最大值上有最小值在例如：10]1,0[)1(xy值。上既无最大值亦无最小但在)1,0(上不连续，在]1,1[1)2(xy.没有最大、最小值若条件不满足，则结论不一定成立.非闭区间上的连续函数,定理的结论不一定成立;闭区间上的不连续函数,定理的结论不一定成立;；和最大值上有最小值在但11)2,0(sinxy和最大值。上不连续，但有最小值虽在但]1,1[010xxxy定理2.6].,[],[)(,)(],,[],[,],[)(,,],[)(00MmbaxfcxfbaxMmcbaxfMmbaxf上的值域为在由此可知使得，一定存在对任何则上的最小值和最大值在分别为且设上连续在（介值定理）设b0x1xamMC.)()(],[至少相交于一点之间和介于与水平直线上的连续曲线闭区间MmCCyxfyba定理2.7.0)(),,(,0)()(],[)(00xfbaxbfafbaxf使得则一定存在且上连续，在（零点存在定理）设.)(0)(0的零点为的称使得xfxxf,))(,())(,(轴的两侧分别位于与点如果点xbfbafa.轴有一个交点少与那么连接两点的曲线至x2.零值定理的应用利用零值定理证明方程f(x)=0实根的存在性：(1)、构造函数f(x)(2)、构造闭区间[a,b]0)(..)1,0(:00xftsx至少由零值定理可得,3)(xexfx设.03)1,0(0xxex至少存在一个实根内，即在内至少有一个实根。在证明方程)1,0(03xex(3)、验证f(x)在闭区间[a,b]上满足零值定理条件,01)0(f且有上连续，在则]1,0[)(xf03)1(ef例证明.)(),1,0(].1,0[,1)(0,]1,0[)(000xxfxxxfxf使得证明：存在且满足上连续在设例,)()(xxfxF令证明,]1,0[)(上连续在由于xf,1)1()1(),0()0(fFfF且,1)1(0,1)0(0ff注意到,0)1(,0)0(FF则),1,0(,0x一定存在由零点存在定理可知.)(,0)(000xxfxF即使得,]1,0[)(上连续在因此xF.)0,0(sin.bababxax它不大于至少有一个正根，并且其中试证方程例xbxaxfsin)(设上连续。因此在上连续是初等函数，在由于],0[,),()(baxf,0)0(bf的一个正根就是方程则若bxaxbabafsin,0)(,0)(baf若.sinbabxax于至少有一正根，且不大方程)()sin()(babbaabaf.0)(),0(fba，使得内至少存在一点在则由零值定理知，0]1)[sin(baa证明)0(0bax内各仅有一个实根。在用零值定理证明例)4,2(),2,0(),0,2(033:.23xxx,33)(23xxxxf设,0)2(f则有,0)0(f,0)4(,0)2(ff0)(..),0,2(:11fts至少由零值定理,0)(..),2,0(22fts至少.0)(..),4,2(33fts至少..,,321个区间只存在一个实根只有三个实根，所以各又三次方程最多是方程的实根证明.),(内连续在.),(03323内至少有一实根在证明xxx定理2.8.)](),([)(,)(],[)(,],[)(,],[)(上连续且严格单增在且上存在反函数在那么上严格单增在如果连续上在设（反函数连续性定理）bfafyxyxbaxfybaxfbaxf.,],[)(也有相应的结论上严格单减时在当baxf反函数连续性定理.)1,1(2)1(2内必有实根在证明方程练习：xx.)(),,(.)(,)(,],[)()2(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数第二章复习一、数列极限2.数列极限存在定理：1.极限四则运算法则单调有界原理夹逼定理ennn)11(lim二、函数极限1.函数极限的六种记法2.函数极限性质及夹逼定理1sinlim0xxx3.函数极限四则运算法则及复合函数求极限的性质(1).用直接代入法(满足四则运算法则条件)(2).对00型,约去零因子(根式有理化法等)(3).对型,分子分母(均为多项式)同除以最高次幂三、无穷小量与无穷大量1、无穷小量,无穷大量的概念和性质2、无穷小量的有关性质(无穷小与函数极限的关系)（无穷小量与有界变量(常数)之积仍为无穷小量）（无穷小与无穷大的关系）(4).注意复合函数求极限时的变量替换法的使用3、无穷小量与无穷大量阶的比较(1).高阶,低阶,同阶,等价的无穷小量的定义(2).等价无穷小代换定理(常见的等价无穷小)应用原则：(1)只能对分子或分母的乘积因子作等价无穷小代换,(2)只能在变量趋于0时可用常用的等价无穷小代换.四、函数的连续性1、函数在一点连续定义:).()(lim00xfxfxx2、基本初等函数与初等函数的连续性(1).三要素(2)..)(0既左连续又右连续点连续在xxf分段函数分段点处3、函数的间断点(找出间断点并判断类型)第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点左右极限至少有一个不存在函数在一点连续，则极限符号和函数符号可以交换。五、闭区间上的连续函数性质1、有界定理、最值定理、介值定理、零值定理2、零值定理的应用利用零值定理证明方程f(x)=0实根的存在性：(1)、构造函数f(x)(2)、构造闭区间[a,b](3)、验证f(x)在闭区间[a,b]上满足零值定理条件4、运用函数连续性求极限（尤其对幂指函数()）1第二章练习1.求下列极限)1(lim)2(xxxx1sinlim)3(3xxxx)1212(lim)1(223xxxxxnxnxneex1lim)4()]3ln()2[ln(lim)6(nnnnxxxx2sincos1lim)5(30xxxsin1lim)7(21xxxxcot011lim)8(41210010210xxxx43122exxxx~1102时，、证明当的连续性。、研究函数0,10,||sin)(4xxxxxf5.设函数在x=0连续,求a,b.1,1baeba,2.,,0)1(lim321babxxaxx求常数、若..01212)()3(11型若是间断点，判断其类处的连续性在讨论函数xxfxx)211()211)(411)(211(lim)1(24nn思考：(2)求(2000考研)跳跃间断点1sin12lim410xxeexxx1sin12lim410xxeexxx2