直线和抛物线的位置关系

直线和抛物线的位置关系一、直线和抛物线的位置关系方程组两组解0相交方程组没有解0相离方程组一组解0相切若消元得到一次方程，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.若消元得到二次方程,则思考：只有一个交点一定是相切吗？xOy判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离例1求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.2xy2由{得{0x2xy20x0y故直线x=0与抛物线只有一个交点.解:(1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是x=0.1kxy2xy221由方程组{消去y得(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是011)x2(kxk22当k=0时，x=,y=1.故直线y=1与抛物线只有一个交点.y=kx+1,xyO当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则.21k0,4k1)4(kΔ22此时直线方程为1.x21y综上所述，所求直线方程是x=0或y=1或1.x21y练习：当k为何值时,直线y=kx+1与抛物线24yx(1)相交,(2)相切,(3)相离?解：由方程组{22x(24)x+10kk2yx14kyx消去y，并整理得01k（1）当，即时，直线与抛物线相交当K≠0时，该方程是一元二次方程,所以22(24)416(1)kkk01k（3）当，即时，直线与抛物线相离01k（2）当，即时，直线与抛物线相切综上所述，当k1时直线和抛物线相交且k=0时交于一点;当k=1时，直线和抛物线相切;当k1时直线和抛物线相离.当k=0时，直线方程为y=1，与抛物线交于一点例2：在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.2xy5|31)(x|5|4x2x|5|4y2x|d22解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离2xy此时y=1，所求点的坐标为P(1,1).53dmin当且仅当x=1时，，另解:观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点即为所求.2xy联立得设切线方程为2x-y+C=0，0C2xx2)(由得C=-10C)(42)(Δ2又由（）得x=1，∴y=1.故所求点的坐标是（1，1）.点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0xyO2yxp1.过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有(）（A）1条(B)2条(C)3条(D)无数多条xy82C.P互动练习2.在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。分析：抛物线上到直线Ｌ距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。yxy2=64x4x+3y+46=0解：∵无实根∴直线与抛物线相离设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3x+bL·P则由y=-4/3x+by2=64x消x化简得y2+48y-48b=0△=482-4×(-48b)=0∴b=-12∴切线方程为：y=-4/3x-12y=-4/3x-12y2=64x解方程组得x=9y=-24∴切点为P（9，-24）切点P到Ｌ的距离d=234|46)24(394|22∴抛物线y2=64x到直线Ｌ：4x+3y+46=0有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为2。3、斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x226104xxyxy=x-1解：由{得23211812法1：|AB|=1+k|a|112222,),(,),6268AxyBxyxxxx法2：设（则，|AB|=p+26,41yxM4、已知抛物线求以点，为中点的弦所在直线的方程。即为所求。所以，所以因为所以得所以直线与抛物线交于解：设直线方程0113,31266212616,,,,1421212121212221212211yxkyykyykyyxxyyxyxyyxByxAxky二、抛物线的焦点弦性质例1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θ(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。xOyABFθ112(7)AFBFpxyoAA`BB`FxOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2pAXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.222111证明：如图，AABBAFBFABMM故以AB为直径的圆与准线相切.XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。12345600023563518049090AFB证明：如图，1=，4=，又14，1，即过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理01ABx当轴时，pppp易得A（，），B（，-），2222224pypx11y-，x；02AB斜率存在时设为k，（k0）p则直线AB方程为y=k（x-）22px2代入抛物线方程y22202yppyppkk22消元得y（）即y22yp1y-；222112224yypxpp1xxOyABF2222212224212222()2220(2244ypxpypmypxmyypmypyypyyppppp12即：　（定值）xx定值）2pABxmymR设方程法二：由题知AB不为，（与x轴平行）xOyABFQPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0,2(),,2(),,2(21pFypQypPQFPF0QFPF0),(),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°。代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，练习(1).若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB的方程为ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）2222121222224yypsxxsppp（）122syyp(2).若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点(s,0)(s0)证明：21122222ypxypx1212122AByypkxxyy相减得11122pAByyxxyy直线方程为（）21121022yyyypxpx令得2112ypx12因为，yy=-2ps代入上式得0xsABs直线必过点（，）lyy2=2pxAMxB若直线与抛物线y2=2px(p0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则直线过定点M(s,0)，(s0)x1x2=s2;y1y2=-2ps.（1）M为焦点，即过（p/2，0）x1x2=p2/4;y1y2=-p2.（2）M过（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M过（2p，0）（4）M过（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.OAOB（5）M过。。。。。。。抛物线对称轴上的重要结论lyy2=2pxAMxB过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θxOyABFθ证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=12xxp0190pp20（）时，k不存在，pp易得A（，），B（，-），222pAB=2P=sin9002290tantankyxpx12p（）时，斜率，直线方程为（）22p然后联立方程组用韦达定理得ABxsin思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短12121212121222212121212127)221111222222()()244422()2ppAFXBFXppXXppppAFBFXXXXxxpxxppppppxxxxxxxxpppxxp　　xOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则112AFBFp例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.22221212::,2,220..ABpxmyypxypmypAyByyyp12证明设直线的方程代入得设（x，），（x，）则xC1111ypyppy=，x=-联立得（-，-）x222x121221yyypyy11c211pypyy--y2x22p||BCX轴xyFABCO例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过B作BC⊥准线l,垂足为C,则AC过原点O共线.(2001年高考题)22221212::,2,220..ABpxmyypxypmypAyByyyp12证明设直线的方程代入得设（x，），（x，）则||BX轴2Cyp（-，），221pCyp即（-，）2221111111212OApyyypkpyxyxOCk||OCOAO且共点，ACO直线过点xyFABCO例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，1.求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线AB过定点；3.求弦AB中点P的轨迹方程；4.求△AOB面积的最小值；5.求O在AB上的射影M轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；[解答](1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点P(x0,y0)，2211,xykxykOBOA∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2022212221yypypy∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.例3.A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB，(2)求证：直线AB过定点；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)2121212