圆周角和圆心角的关系

3.3圆周角和圆心角的关系(1)大兴学校卿丽萍圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDOABOA'B'O'在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDOABOA'B'O'在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等1.圆心角的定义?.OBC答:顶点在圆心的角叫圆心角..OBC圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。在同圆或等圆中，点与圆的位置关系有哪些?BC当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况?A.O.O.O.A.A.BCBC圆周角.OBCA特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.练习：1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是是不是不是图１图２图３图４图５2、指出图中的圆周角。ABCO有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧所对的⌒⌒ABCOABCOABCOABCODABCOD下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。ABCOABCO自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和圆周角分别是多少度？一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.类比圆心角探知圆周角•在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.•在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？想一想●O●O●OABCABCABC圆周角和圆心角的关系•如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?•说说你的想法,并与同伴交流.议一议教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.●OABC●OABC●OABC圆周角和圆心角的关系•1.首先考虑一种特殊情况：•当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.议一议∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.21你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.老师期望:你可要理解并掌握这个模型.圆周角和圆心角的关系•如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?•2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?议一议老师提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.21你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121圆周角和圆心角的关系•如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?•3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?议一议老师提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.21你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121ABC圆周角定理•综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:•圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.议一议老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.21练习：2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。OABCBAO.70°x1.求圆中角X的度数AO.X120°130°AO.X120°CCDB3、如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________.做做看，收获知多少？一、判断1、顶点在圆上的角叫圆周角。2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。二、计算1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两部分，则弦所对的圆周角的度数是。×√O60°或120°2、如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.●OBAC解:∠A=∠BOC=25°.21习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB=∠AOB12∠BAC=∠BOC2∠AOB=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC1规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理分析:AB所对圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB.则∠ACB=∠AOB.BC所对圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,则∠BAC=∠BOC⌒⌒21___21___习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB=∠AOB12∠BAC=∠BOC2∠AOB=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC1规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理分析:AB所对圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB.则∠ACB=∠AOB.BC所对圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,则∠BAC=∠BOC⌒⌒21___21___思考题：如图，在⊙O中,CE=BD,DE=2BC，∠EOD=64°，求∠A的度数。︵︵ABCDEO一、这节课主要学习了两个知识点：1、圆周角定义。2、圆周角定理及其定理应用。二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?拓展化心动为行动•1.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小.猜一猜●OCABD(1)●OBACDE(2)●OABC(3)练习：4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=350，求∠BOC的度数。5、如图，在⊙O中，BC=2DE，∠BOC=84°，求∠A的度数。⌒⌒