三种平均数的计算

1四、算术平均数、调和平均数和几何平均数之间有何关系？1、XGH证明：现以两个变量值来证明。xGHGHxxxxxxxxbxaGxxxxxxbxaabbaabbabababa:1x12:1211:1,1::2::2202)(21212121212121212222222有即则再令有则令2、三种平均数同源于一族。其通式为：knikinXX11………………………………………..①（1）当k=1时，即为算术平均数。（2）当k=2时，即为平方平均数。（3）当k=3时，即为立方平均数。（4）当k=0时，即为几何平均数。证明：当k=0时，①式表现为未定式，即：1X。对①式列两边取对数，nXknXXnikikniki111ln1lnln此式仍属于未定式00的情况，我们运用罗比塔法则求极限，得：niiniinikinikiknikiknikiknikiknikikkXXnXXXLimXLimnXLimnXkLimnXkLimXLim111110'10'10'1'0100lnln1ln1lnlnlnln1ln1ln2即有：niiniiXXX111(5)当k=-1时，即为调和平均数。即：niiniiknikiXnnXnXX11111113、XGHn个变量值的证明。(1)证明：现以n＝4个变量值时，证明XG。即为算术平均数。令几何平均数：)(42222)(43214321432143214321443214321xxxxXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxG同样方法可用来证明mn2＝时，上式也成立。当m＝1，m＝2时，上式显然成立。当m＝k＋1时，可用数学归纳法证明：即为算术平均数。令几何平均数：),(22222),(111111112211222122212221222122221222212222122221222212221221kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxGkkk现在假设n不等于2的幂次，我们总可以找到一个适当的自然数r，使得n＋r是2的幂，就是使得：mrn2＝。例如：当n＝5时，可取r＝3，就得328rn。这样，对于任何自然数rn来说，也是成立的。),(),(rn21rn21xxxXxxxG3xrnxrxnrnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrxnxrnxxxxnnxxxxnrnnnn)()(),(:21n21212121＋即有：＋即得：数，个个数之外再补充果，在为了利用刚才证明的结那么：令证：用不等式两边自乘n＋r次，便有：也成立。这种形式时，不等式不是即，当次方，便得：除之后，再开两边同用XGnxxxxnxxxxxxxxmnrrnn2n2121(2)GH证明：同理：也成立。证毕！个变量值的情况下，即在即证得：即得：两边取倒数，即得：再令：令X11111111,,1,1:n212121n21221121n21GHnGHxxxxxxnnxxxxxxxaxaxanaaaaaannnnnnnn