余弦定理-例题解析

1正弦定理和余弦定理-例题解析例1．在△ABC中，已知b=16，A=30°，B=120°，求边a及S△ABC．思路解析本题是已知两角和任一边解三角形，由三角形全等的判定定理知，这样的三角形有一解.利用正弦定理求边a，然后利用公式S△ABC=21absinC．解：由正弦定理得a=BAbsinsin=120sin30sin16=3316，又C=180°-（A+B）=180°-（30°+120°）=30°，∴S△ABC=21absinC=21×3316×16×21=3364.例2．根据下列条件解三角形：①a=7，b=9，A=100°；②a=10，b=20，A=60°；③a=2，b=2，A=45°；④a=23，b=6，A=30°.思路解析本题是已知三角形的两边及其一边的对角解三角形，可能会出现一解、两解或无解的情况，应该注意判断.解：①a=7，b=9，∴ab，∴AB．又A=100°，∴本题无解.②bsinA=20·sin60°=103，∴absinA．∴本题无解.③∵a=2，b=2，A=45°90°，∴aB．∴三角形有一解.sinB=aAbsin=245sin2=21，∴B=30°.C=180°-（A+B）=180°-（30°+45°）=105°，c=BCbsinsin=21105sin2=22×426=3+1.④a=23，b=6，ab，A=30°90°，又∵bsinA=6sin30°=3，absinA，∴本题有两解.由正弦定理得sinB=aAbsin=3230sin6A=23.∴B=60°或B=120°.当B=60°时，C=90°，边c=ACasinsin=30sin90sin32=43.2当B=120°时，C=30°，边c=ACasin=23.绿色通道（1）sin105°=sin75°=sin（45°+30°）=426，另外，sin15°=sin（45°-30°）=426.（2）在判断解的个数时，注意运用三角形中大边对大角的性质.（3）对于第②③④小题，亦可接如下解法求解：②sinB=aAbsin=1060sin20=31，∴三角形无解.③sinB=aAbsin=21，又ab，∴AB，即B为锐角.∴B=30°，有一解.④sinB=23，又ab，即AB，A=30°.∴B=60°或120°，有两解.例3．在△ABC中，已知a=2，b=22，C=15°，解此三角形.思路解析由条件知本题是已知两边及其夹角解三角形问题，故可用余弦定理求出边c，然后结合正弦定理求A，解：cos15°=cos（45°-30°）=426，sin15°=sin（45°-30°）=426.由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-22×（6+2）=8-43，∴c=6-2.由正弦定理Aasin=Ccsin，得=Asin2=42626，∴sinA=21.∵ba，即BA．∴A为锐角，即A=30°.∴B=180°-（A+C）=180°-（30°+15°）=135°.黑色陷阱在用正弦定理求角A时，如果不注意结合大边对大角，可能会得出A=30°或150°而得到两组解，实际这是错误的.例4．在△ABC中，已知a=7，b=10，c=6，求三角（精确到1°）.思路解析已知三边求三角，应使用余弦定理的推论，如cosA=bcacb2222求解.解：cosA=bcacb2222=61027610222≈0.725，∴A≈44°.3cosC=abcba2222≈0.8071，∴C≈36°.∴B=180°-（A+C）=180°-（44°+36°）=100°.绿色通道已知三边求三角，先用余弦定理求出任一边所对的角，求另外的角时可用正弦定理，亦可用余弦定理.用余弦定理求解，可直接通过符号判断角是锐角还是钝角，但计算较复杂，用正弦定理需要判断解的个数，但一般要先计算较小角（一定为锐角）.例5．已知△ABC中，b=3，c=33，B=30°，求A．思路解析已知两边和其中一边的对角，可根据正弦定理求解，也可根据余弦定理解三角形.解法一：由正弦定理得sinC=bBcsin=23330sin33.∵cb，∴CB．∴C=60°或120°.①当C=60°时，A=90°，∴a=6.②当C=120°时，A=30°，∴a=3.解法二：由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB．∴b2=a2+（33）2-2a·33·cos30°=9.∴a2-9a+18=0.∴a=3或a=6.绿色通道利用正弦定理，必须注意讨论解的情况，同时结合三角形大边对大角的性质.在解三角形问题中，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余弦定理.例6．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=（3-1）∶（3+1）∶10，求最大角的度数.思路解析由正弦定理可知a∶b∶c=（3-1）∶（3+1）∶10，根据“大边对大角”，所以c边为最大边，则C角最大，可设a=（3-1）k，b=（3+1）k，c=10k（k0），则本题可转化为已知三边解三角形问题.解：∵sinA∶sinB∶sinC=（3-1）∶（3+1）∶10，∴a∶b∶c=（3-1）∶（3+1）∶10.设a=（3-1）k，b=（3+1）k，c=10k（k0）.4∴c边最长，即角C最大，由余弦定理，得cosC=abcba2222=-21.又C∈（0，π），∴C=120°.绿色通道本题关键在于把条件中的角的关系，转化为三角形边的关系，然后设出三边，利用转化的数学思想，把问题转化为已知三边求三角问题.例7．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.思路解析连结AC，可将四边形转化为两个三角形，进而在三角形中利用三角函数的知识及正、余弦定理解决.解：如图1-1-7，连结AC，∵B+D=180°，∴sinB=sinD．S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=21AB·BCsinB+21AD·DCsinD=14sinB．由余弦定理得AB2+BC2-2AB·BCcosB=AD2+DC2-2A·DCcosD，即40-24cosB=32-32cosD．又cosB=-cosD，∴56cosB=8，cosB=71.∵0°B180°，∴sinB=Bcos-12=734.∴S四边形ABCD=14sinB=83.图1-1-7绿色通道（1）明确正弦、余弦定理的实质以及在解决三角形问题中的作用；在一些题目中，要注意转化，主要就是把问题放到三角形中，通过作辅助线，结合圆内接四边形的性质、三角形及余弦定理解决.（2）求三角形面积的常用方法：①S△=21×底×高；②S△=21absinC；③海伦公式：S=c)-b)(p-a)(p-p(p（其中p=2c)b(a）.在河的北岸有C、D两点,某人在河的南岸进行观测,应通过什么办法观测出C、D两点间的距离?5解析：测量者可以在河的南岸选定两点A、B,测得AB=a,并且在A、B两点分别测得∠CBD=α,∠ABC=β,∠DAB=γ,∠CAD=δ,在△ABC和△ABD中应用正弦定理,有BC=)](180sin[)sin(a=)sin()sin(a,BD=)](180sin[sina=)sin(sina.计算出BC、BD后,再在△BCD中,应用余弦定理计算出CD两点间的距离:CD=cos222BDBCBDBC=cos)sin(sin)sin()sin(2])sin(sin[])sin()sin([22aaaa.