最大公约数

奥数举一反三最大公约数邯郸市峰峰矿区杨桂林专题简析几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。王牌例题1：一张长方形的纸，长75厘米、宽6分米。现在要把它刚好裁成一些正方形，并且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【思路导航】6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁(75÷15)×(60÷15)=20(块)。举一反三11.把135厘米长、105厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，并且无剩余，至少能裁多少块？2.一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？王牌例题2：一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？【思路导航】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。(270,18,15)=33厘米=0.3分米举一反三21.一个长方体木块的长是45厘米、宽36厘米、高24厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2.有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？【思路导航】一个数除200余4,可以转化为196能被某一个数整除，另两个条件可以转化为：294和490都被那个数整除。求这个数最大是多少，也就是求196,294和490的最大公约数是多少。(196,294,490)=98答：这个数最大是98王牌例题3：一个数除200余4，除300余6，除500余10，求这个数最大是多少？举一反三31.一个数除425余5，除500少4，除300余6，这个数最大是多少？2.如果把110本练习本平均分给五(1)班同学，则多5本；如果把210本练习本平均分给这个班同学则正好分完；如果把240本练习本平均分给这个班同学，还少5本，五(1)班最多有多少名同学？王牌例题4：一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙两村相距360米，乙、丙两村相距675米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵之间距离相等，并在甲乙两村和乙丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵之间的距离最多有多少米？举一反三41.一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？2.有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？王牌例题5：用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？【思路导航】前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。第一步：1072÷469，余134；第二步：469÷134，余67；第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。134469469134134134676767辗转相除法：这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。上面的方法可以写成这样：1.将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？2.有3根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？3.一个数，除410时余5，除242时少1，除550时余10，这个数最大是多少？