最大公约数与最小公倍数讲义

最大公约数与最小公倍数一、基本概念质数——只有两个约数。自然数（按约数的个数分为）合数——两个以上的约数1——只有1个约数1、约数与倍数若数a能被b整除，则称数a是数b的倍数，数b是数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。练一练：下面的数中，哪些是12的约数，哪些是2的倍数？1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、……12的约数有：。2的倍数有：。2、公约数与最大公约数几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。例如：12的约数有________________________；30的约数有________________________;12和30的公约数有_________________，其中6是12和30的最大公约数。一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。3、公倍数与最大公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有______________________________18的倍数有______________________________12和18的公倍数有：_______________其中12和18的最小公倍数是___________。一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。4、最大公约数与最小公倍数的求法（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。（4）辗转相除法当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。5、最大公约数和最小公倍数的关系：两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。a×b=（a,b）×[a,b]例如：（18，12）=，[18，12]=，（18，12）×[18，12]=二、求最大公约数与最小公倍数例1、求24、36的最大公约数与最小公倍数。1、用枚举法求最大公约数与最小公倍数2、用分解质因数求最大公约数与最小公倍数3、用短除法求最大公约数与最小公倍数练一练1、口答：说说下面每组中的两个数有什么关系？很快说下面每组数的最大公约数和最小公倍数7和218和1542和1417和1912和364和52、把下面各数分解质因数。6556947613510587933、求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。45和1851和1728和9660和361、用枚举法求2、用分解质因数求3、用短除法求例2求24、36、90这三个数最大公约数和最小公倍数练一练1、用短除法求最小公倍数42、105和5624、36和482、用分解质因数的方法求24与60最大公约数3、3用短除法求180、840、300的最小公倍数4、4、用分解质因数的方法求12、15、18的最小公倍数5、直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。26和1313和64和65和929和87*6、三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于。解：168=23×3×7，因此这三个连续自然数是6，7，8。和为6+7+8=21.例3用辗转相除法求437与323的最大公约数是多少？分析与解：求两个数的最大公约数常用辗转相除法，先将大叔除以小数，如果整除，那么小数就是它们的最大公约；如果不能整除，就记下余数，用前面的除数（即小数）除以这个余数。以下类推，每次都用前一个除式的除数除以自己的余数，直到有一个除法能整数，这时，最后能整数的除式的除数就是这两个数的最大公约数。横式法：437÷323=1…114,323÷114=2…95114÷95=1…19,95÷19=5所以(437,323)=19综合练习一、填空题。1.ab和都是自然数，如果a÷b=10，ab和的最大公约数是（），最小公倍数是（）。2.甲=2×3×5，乙=2×3×7，甲和乙的最大公约数是（），甲和乙的最小公倍数是（）。3.所有自然数的公约数为（）。4.如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。5.在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。6.用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。*7.两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。*8.两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。