概率统计和随机过程课件5.3 随机变量的数学方差

1第五章随机变量的数字特征2定义若E((X-E(X))2)存在，则称其为随机变量X的方差,记为D(X)D(X)=E((X-E(X))2)称)(XD为X的均方差.方差的概念(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量E(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数3若X为离散型变量.，概率分布为,2,1,)(kpxXPkk12)()(kkkpXExXD若X为连续型，概率密度为f(x)dxxfXExXD)()()(2常用的计算方差的公式：)()()(22XEXEXD4D(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)))())(((2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特别地，若X,Y相互独立，则)()()(YDXDYXD方差的性质5若nXXX,,,21相互独立，baaan,,,,21为常数则niiiniiiXDabXaD121)(若X,Y相互独立)()()(YDXDYXD对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X))()()(YEXEXYE6例8将编号分别为1~n的n个球随机地放入编号分别为1~n的n只盒子中，每盒一球.若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对.求配对个数X的期望与方差.解niiiXi,,2,1,0,1其它号盒号球放入则niiXX1nXXX,,,21不相互独立，但711)()(1nnXEXEnii212)(niiXEXEiXP10n1n11ni,,2,1nnjijiniiXXXE1122nnjijiniiXXEXE112)(2)(82iXP10n1n11ni,,2,1nji,,2,1,jiXXP10)1(1nn)1(11nnnXEi1)(2)1(1)(nnXXEji9nnjijiniiXXEXEXE1122)(2)()(nnjininnn11)1(121)1(1212nnCnnn21)()()(22XEXEXD10仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：XP-1010.10.80.1YP-2020.0250.950.025与2.0)(,0)(XDXE2.0)(,0)(YDYE它们有相同的期望、方差但是分布却不同11但若已知分布的类型，及期望和方差，常能确定分布.例9已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解1234)(,4.27.121)(YDYEyeyfyY,621)(24)4.2(212标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称)()(XDXEXX为X的标准化随机变量.显然，1)(,0)(XDXE13§5.3协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.(())(())EXEXYEY数反映了随机变量X,Y之间的某种关系14定义称))())(((YEYXEXE为X,Y的协方差.记为))())(((),cov(YEYXEXEYX称)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为（X,Y）的协方差矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵协方差和相关系数的定义15若D(X)0,D(Y)0,称)()(),cov()()()())(((YDXDYXYDXDYEYXEXE为X,Y的相关系数，记为)()(),cov(YDXDYXXY事实上，),cov(YXXY若,0XY称X,Y不相关.16若(X,Y)为离散型，ijijjipYEyXExYX11))())(((),cov(若(X,Y)为连续型，dxdyyxfYEyXExYX),())())(((),cov(协方差和相关系数的计算)()()(),cov(YEXEXYEYX()()()2cov(,)DXYDXDYXY17求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1已知X,Y的联合分布为XYpij1010p00q0p1p+q=1解10pqXYP18,)(,)(,)(,)(pqYDpqXDpYEpXE,)(,)(pqXYDpXYE1,),cov(XYpqYX19例2设(X,Y)~N(1,12,2,22,),求XY解:dxdyyxfyxYX),())((),cov(2122211()22(1)12221sttstedsdtdudteutttuuts22221)1(2221)(12令1212,xyst令20dtetduetu222212)1(22211221XY若(X,Y)~N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立X,Y不相关2xedx利用21例3设~(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求XY解其他,20,21)(ttf,021)cos()(,021cos)(2020dttYEdttXE22cos2121)cos()cos()(20dtttXYEcos21),cov(YX,2121)(cos)(,2121cos)(20222022dttYEdttXE,21)(,21)(YDXDcosXY23,0若1,XY,若1XY1||XYYX,有线性关系但,23,2若0XYYX,不相关，YX,不独立，YX,没有线性关系，但此时，有函数关系122YXXY由X，Y表达式：XY由X，Y表达式：24例4设X,Y相互独立，且都服从N(0,2),U=aX+bY,V=aX-bY,a,b为正常数，且都不为零，求UV解)()()(),cov(VEUEUVEVU)()()()()()(2222YbEXaEYbEXaEYEbXEa由2)()(,0)()(YDXDYEXE2222)()(YEXE222)(),cov(baVU25而22222)()()()(baYDbXDaUD22222)()()()(baYDbXDaVD故2222babaUV继续讨论：a,b取何值时，U,V不相关？此时，U,V是否独立？若a=b，UV=0,则U,V不相关.此时，U，V也是独立的。协方差的性质)()()(),cov(),cov(YEXEXYEXYYX),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYX)(),cov(XDXX)()(|),cov(|2YDXDYX0()(())1PYEYtXEX协方差和相关系数的性质当D(X)0,D(Y)0时，等号成立当且仅当(1即,）27证5:令2))](())([()(XEXtYEYEtg)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)(tg对任何实数t,0)()(4),(cov42YDXDYX即)()(|),cov(|2YDXDYX—Cauchy-Schwarz不等式)()()(),cov(0XDYDXDYXt其中28等号成立0)(tg有两个相等的实零点)()()(),cov(0XDYDXDYXt0)(0tg20(())(())0EYEYtXEX即又显然0(())(())0EYEYtXEX0(())(())0DYEYtXEX0(())(())01PYEYtXEX291]0))(())([(0XEXtYEYP即1))](())([(0XEXtYEYP即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP**1PYX31相关系数的性质1||XY1||XYCauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP321XY1)()()()(XDXEXYDYEYP1XYPcov(,)[(())(())]0XYEXEXYEY)()()(),cov(0XDYDXDYXt0()(())1PYEYtXEX331XY0),cov(YX1)()()()(XDXEXYDYEYP1XYP)()()(),cov(0XDYDXDYXt0()(())1PYEYtXEX340XYX,Y不相关0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDX,Y相互独立X,Y不相关若X,Y服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关35作业•习题五20，21，22，24