概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布

2.4连续型随机变量及其概率密度2.4.1连续型随机变量及其概率密度函数2.4.２常见的连续型随机变量2.4.1连续型随机变量及其概率密度函数定义：设X是一随机变量，若存在一个非负可积函数f(x)使得xttfxFxd)()(其中F(x)是它的分布函数．则称X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度．-10-550.020.040.060.08xf(x)xF(x)分布函数F(x)与密度函数f(x)的几何意义)(xfyp.d.f.f(x)的性质0)(xf1)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数，或求其中的未知参数在f(x)的连续点处，)()(xFxf1xbaxxfbXaPd)(}{对于连续型随机变量，还要指出两点：（1）F(x)是连续函数;（2）P{X=a}=0（a为任意实数）.因此，对于连续型随机变量，有}{}{}{bXaPbXaPbXaP{}PaXb()dbafxx)()(aFbF)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf(x)-10-550.020.040.060.08aX.0,0;0,)(3xxAexfx例1设随机变量具有概率密度函数试确定常数A，以及的分布函数.X解:由,31)(103AdxAedxxfx知A=3，即.0,0;0,3)(3xxexfx而的分布函数为XxxxxedttfxF.0,0;0,1)()(3例2在高为h的ABC中任取一点M,点M到AB的距离为X,求X的分布函数，概率密度函数f(x).EFABCh.MXx解作,ABEF当时hx0ABCEFBASSxXPxF)()(2)(11hxhSSABCCEF使EF与AB间的距离为x于是hxhxhxhxxF10)(100)(2其他002)()(2hxhxhxFxf2.4.2.1均匀分布(a,b)上的均匀分布),(~baUX记作2.4.2常见的连续型随机变量若X的密度函数为，则称X服从区间)(xf其他,0,1)(bxaabxf其中X的分布函数为1,,0)(abaxxFbxbxaax,,xf(x)abxF(x)ba),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即X的取值在(a,b)内任何长为d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则baUX,~应用场合:例3秒表的最小刻度差为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该秒表计时产生的随机误差X的概率密度,并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.005.0005.0~UX解由题设知随机误差X等可能地取得区间上的任一值，则005.0005.0其他,0005.0,100)(xxf8.0100)004.0(004.0004.0dxXP所以2.4.2.2指数分布若X的密度函数为其他,00,)(xexfx则称X服从参数为的指数分布)(~EX记作X的分布函数为0,10,0)(xexxFx0为常数1xF(x)0xf(x)0对于任意的0ab,babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(应用场合:用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似若X~Ｅ(),则所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布)()(tXPsXtsXP指数分布的“无记忆性”事实上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts分钟之间的概率．分钟到用电话间，求你需等待面走进公．如果某人刚好在你前为参数的指数随机变量（单位：分钟）是以间设打一次电话所用的时2010101X解：的密度函数为X00010110xxexfx例42010XPBP则令：B={等待时间为10-20分钟}201010101dxex201010xe21ee2325.0例5假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t的Poisson分布,(1)求相继两次故障的时间间隔T的概率分布(2)求设备已经无故障运行８小时的情况下，再无故障运行10小时的概率.解(1))()(tTPtFT0),(10,0ttTPt)0)(()(tNPtTPtteet!0)(00,10,0)(tettFt0,0,0)(tettft即)(~ET)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(2)由指数分布的“无记忆性”F(x)0x1.定义若X的概率密度为分布函数为：xexfx,21)(222)(xxdtexF222)(21)(其中μ,σ(σ0)为常数，则称X服从参数为μ,σ的正态分布或高斯（Gauss）分布。记作X～N（μ,σ2）2.4.2.3正态分布f(x)的性质：(1)图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)在x=时,f(x)取得最大值21)(f或对于任意的x0有P{μ-x＜X≤μ}=P{μ＜X≤μ+x}显然，x离μ越远，f(x)的值越小。即对于同样长度的区间，X落在离μ越远的区间内，概率越小。(2)(3)曲线y=f(x)的图形呈单峰状(4)拐点：(μ±σ，f(μ±σ));水平渐近线：ox轴。21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3(5)f(x)的两个参数：f(x)x0σ=2σ=0.5σ=10μ1μ2f(x)x(6)固定，改变值，曲线f(x)形状不变，仅沿x轴平移。可见确定曲线f(x)的位置。(7)固定,改变值,则愈小时,f(x)图形的形状愈陡峭,X落在附近的概率越大。—位置参数—形状参数正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度。应用场合:若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则X服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．⑵正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布．正态分布的重要性:标准正态分布X~N(0,1)即当=0，=1时的正态分布。2221)(xexxtdtex2221)(-3-2-1012300.050.10.150.20.250.30.350.4标标标标标标标标标密度函数：分布函数：5.0)0()(1)(xx)()(xxF)()(}{abbXaP)(}{bbXP)()(xxt令xtdtexF222)(21)()(2122xdex,ddtt则)(1}{aaXP3.4.1.-3-2-1012300.050.10.150.20.250.30.350.4标标标标标标标xy-xx1-(x)(-x)1)(2)|(|aaXP2.设X~N(1,4),求P(0X1.6)解:210216.1)6.10(XP5.03.0]5.01[3.0]6915.01[6179.03094.0P272表2例6例7已知),2(~2NX且P(2X4)=0.3,求P(X0).解1:20)0(XP212224)42(XP)0(23.08.022.0)0(XP解二图解法0.22.0)0(XP由图-22460.050.10.150.20.3例3原理设X~N(,2),求)3|(|XP解)33()3|(|XPXP333313219987.029974.0在一次试验中,X落入区间(-3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间的可能性很小由3原理知，1)(3,0)(3bbaa时时当满足条件若设zNX),1,0(~0x)(x0.05z常用的数据z1z分位点。为标准正态分布的上则称点z,zz-1注：=1.6450050.z=2.575950.z=-1.6459950.z=-2.575,,zXP10标准正态分布的上分位数z1.已知X~N(3,22),且P{XC}=P{X≤C}则C=（)2.设X~N(μ，42),Y~N(μ，52),记p1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}则()①对任意实数μ，都有p1=p2②对任意实数μ，都有p1p2③只对μ的个别值，才有p1=p2④对任意实数μ，都有p1p23①)1()44(1p课堂练习f(x)x0μP(X≤μ)P(X≥μ)3.设X~N(μ，σ2),则随σ的增大，概率P{|X-μ|σ}（）①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定③4.设X~N（10，0.0004),Φ（2.5）=0.9938，则X落在区间（9.95，10.05）内的概率为().5.设X~N（2，σ2),且P{2X4}=0.3,则P{X0}=().0.98760.2设测量的误差X～N(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量,才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解:105.710105.710)10|(|XP75.125.0]75.11[25.05586.0设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米9.0)5586.01(1)(nAPn3所以至少要进行4次独立测量才能满足要求.课堂练习