【优化方案】2012高中数学 第3章3.3.1知能优化训练 湘教版选修1-1

用心爱心专心-1-[学生用书P33]1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1x1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y＝x－ln(1＋x)的单调增区间为()A．(－1,0)B．(－∞，－1)和(0，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，－1)解析：选C.y′＝1－11＋x＝x1＋x.令y′＞0，得x1＋x＞0，∴x＞0或x＜－1.又x＋1＞0，∴x＞0.3．若在区间(a，b)内，f′(x)0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)0B．f(x)0C．f(x)＝0D．不能确定解析：选A.因f′(x)0，所以f(x)在(a，b)上是增函数，所以f(x)f(a)≥0.4．(2011年高考江苏卷改编)函数f(x)＝2log5x＋1的单调增区间是________．解析：令f′(x)＝2xln50，得x∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2，故选D.2．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0,1)和(－∞，－1)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选A.y＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－1x＝x2－1x＜0，∴0＜x＜1.所以选A.3．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)用心爱心专心-2-解析：选C.令F(x)＝fxgx，则F′(x)＝fxgx－fxgxg2x＜0.∵f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，∴F(x)在R上为递减函数，当x∈(a，b)时，fxgx＞fbgb.∴f(x)g(b)＞f(b)g(x)．4.已知函数y＝f(x)在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()A．[－43，1]∪[113，6]B．[－3,0]∪[73，5]C．[－4，－43]∪[1，73]D．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]解析：选A.由不等式f′(x)≤0的解集即为原函数f(x)的单调递减区间所对应的x的取值范围，知选A.5．设f(x)，g(x)在(a，b)上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时有()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)解析：选C.利用函数的单调性判断．令φ(x)＝f(x)－g(x)，则φ′(x)＝f′(x)－g′(x)，∵f′(x)＞g′(x)，∴φ′(x)＞0，即函数φ(x)为定义域上的增函数．又a＜x＜b，∴φ(a)＜φ(x)，即f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)，从而得f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．6．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A.π2，3π2B.()π，2πC.3π3，5π2D.()2π，3π解析：选B.y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此间内y′恒大于或等于0即可．∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′≥0恒成立．二、填空题7．函数y＝3x－x3在(－1,1)内的单调性是________．解析：y′＝3－3x2，由y′＞0得－1＜x＜1，∴y＝3x－x3在(－1,1)内单调递增．答案：增函数8．y＝x2ex的单调递增区间是________．解析：∵y＝x2ex，∴y′＝2xex＋x2ex＝exx(2＋x)0⇒x－2或x0.用心爱心专心-3-∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)9．已知函数f(x)＝x3＋ax在区间[0，＋∞)上是增加的，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋a，则当x≥0时，f′(x)≥0恒成立，即3x2＋a≥0，∴a≥－3x2.又当x≥0时，－3x2≤0，∴a≥0.即a的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x3＋3x；(2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－1x2)，由f′(x)0，解得x－1或x1，由f′(x)0，解得－1x1且x≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)＝2cos2x＋cosx－1＝(2cosx－1)(cosx＋1)．∵0≤x≤2π，∴由f′(x)＝0得x1＝π3，x2＝π，x3＝53π，则区间[0,2π]被分成三个子区间，如表所示：x0(0，π3)π3(π3，π)π(π，5π3)5π3(5π3，2π)2πf′(x)＋0－0－0＋f(x)∴f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为(π3，53π)．11．已知函数f(x)＝ax－ax－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．解：∵f′(x)＝a＋ax2－2x，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，则在(0，＋∞)内f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.当a＝0时，f′(x)＝－2x0在(0，＋∞)内恒成立；当a0时，要使f′(x)＝a(1x－1a)2＋a－1a≥0恒成立，则a－1a≥0，解得a≥1.综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.用心爱心专心-4-12．设k∈R，函数f(x)＝11－x，x＜1，－x－1，x≥1，F(x)＝f(x)－kx，x∈R.试讨论函数F(x)的单调性．解：F(x)＝f(x)－kx＝11－x－kx，x＜1，－x－1－kx，x≥1.F′(x)＝1－x2－k，x＜1，－12x－1－k，x≥1.对于F(x)＝11－x－kx(x＜1)，当k≤0时，函数F(x)在(－∞，1)上是增函数；当k＞0时，函数F(x)在(－∞，1－1k)上是减函数，在(1－1k，1)上是增函数．对于F(x)＝－x－1－kx(x≥1)，当k≥0时，函数F(x)在(1，＋∞)上是减函数；当k＜0时，函数F(x)在(1,1＋14k2)上是减函数，在(1＋14k2，＋∞)上是增函数．