势垒贯穿

上一节我们讲了薛方程和一维无限深势阱，得到本征能量及波函数。势垒问题属散射问题,粒子可看作从无限远来,经势场散射后又到无限远去。这类问题粒子的能量是往往确定的，有些情况有能量交换（弹性、非弹碰撞）。关心几率流密度、反射几率、透射几率，角分布等。2.8势垒贯穿2.8势垒贯穿考虑一维空间运动的粒子，势能在有限区域为常量，其他区域为零。具有一定能量E的粒子由左向右运动。000()00xUxUxaxa0axU02.8势垒贯穿具有一定能量E的粒子由左向右运动。经典物理粒子能量EU0时越过势垒（100%）EU0时全反弹，不能透过2.8势垒贯穿量子物理粒子EU0可能穿过，也可能反射EU0可能穿过，也可能反射2.8势垒贯穿H不含时间，我们由定态薛方程出发进行求解。222222202220202()0llrrmmdmEdxdmEdxdmEUdx0axU0边界条件：函数及其导数在，x=0，x=a连续。下来的问题就是要求解以上方程。22[]2UE2.8势垒贯穿为了方便，令k1、k2都大于零实数（1）当EU0时2221122222022222221122202()020llmmrrdmEkkdxmEUdkkdxdmEkkdxEU0时2.8势垒贯穿通解为：式中各项都是平面波112211(1)'(2)'(3)ikxikxlikxikxmikxikxrAeAeBeBeCeCe含时间的波函数1111,,()()(,)()(,)iEtlmriEiEikxtikxtEEikxtikxtrtrertAeAeAeAe对③式，只有向右传播，向左传播为零∴C’=0EU0时右左接下来我们要确定通解中的任意常数2.8势垒贯穿波函数及其微商在x=0,x=a连续四个方程线性，五个未知数2212211122221(0)(0)'(0)'(0)()()'()'()lmlmikaikaikamrikaikaikamrAABBkAkAkBkBaaBeBeCeaaBkeBkeCke有一个常数归一化确定，本问题非束缚态，几率流密度2211222122221212122212122()sin()()4()()ikaikaikaikaikaikkkaAAkkekkekkeCAkkekkeEU0时2.8势垒贯穿平面波的几率流密度11ikxikxAeAe向右向左**()2iJ1111**222*111121[()()]2[()]222ikxikxikxikxiddJAeAeAeAemdxdxkiAAikAkAkAmmmkJAm右左正值向右负值向左EU0时2.8势垒贯穿入射波几率流密度11ikxikxlAeAe入射波反射波透射波2211222221'kkJAJAmmkkJBJBmmkJCm入射反射向右向左透射22'ikxikxmBeBe1ikxrCe向右向左EU0时2.8势垒贯穿中间区域波函数几率密度22222222222222(')*(')''''2'cos(2)ikxikxikxikxmikxikxBeBeBeBeBBBBeBBeBBBBkx22'ikxikxmBeBe中间区域几率密度分布类似驻波2222'kkJBJB向右向左几率流密度中间区域向左、向右几率流密度位置无关EU0时2.8势垒贯穿透射系数反射系数222122222222122124()sin4TCJkkTJkkkakkA2222122222222212212'()sin1()sin4RAJkkkaRDJkkkakkA经典物理粒子EU0时越过势垒到右区（100%）量子物理粒子EU0可能穿过，也可能反射EU0时2.8势垒贯穿为了方便，令k1大于零实数k2虚数记：（1）当EU0时从数学上看，和EU0形式一样2221122222022222221122202()020llmmrrdmEkkdxmEUdkkdxdmEkkdx23102322()[]kikmUEk解的形式也一样解法也一样EU0时2.8势垒贯穿解为11113322''(1)(2)'(3)kxkxikxikxikxikxlikxikxrmBeBeBeBeAeAeCeCe波函数及其微商在x=0,x=a连续，得到系数11322133133221332213313322()()s2()ikaikkeCAikkchkakkshkakkhkaAAikkchkakkshka(0)(0)'(0)'(0)()()'()'()lmlmmrmraaaa()/2()/2xxxxshxeechxee双曲正余弦EU0时2.8势垒贯穿透射系数反射系数22222133222222213313'()1()4RAkkshkaJRDJkkshkakkA经典物理反射（100%）量子物理可能穿过，也可能反射222132222222133134()4TCkkJTJkkshkakkAEU0时2.8势垒贯穿透射系数在时的近似当时222132222222133134()4TCkkJTJkkshkakkA31ka31ka3333()/2/2kakakashkaeee333303221322222222311313312222130222213022()2004411()4()4441616()()kakakakamUEakakkTkkkkekkekkkkEUEeekkUTeTe102322()[]mUEkaaEU0时a大,U0大2.8势垒贯穿重点讨论T与E，U0,a的关系222122222222122124()sin4TCJkkTJkkkakkA222132222222133134()4TCkkJTJkkshkakkAEU0时EU0时220122220322()22()mEUmEkkmUEk2.8势垒贯穿重点讨论T与E，U0,a的关系(以电子为例)T–E曲线a=5AU0=1.0eVU0=2.0eVU0=3.0eV2.8势垒贯穿重点讨论计算演示T与E，U0,a的关系T–E曲线U0=2.0eVa=5Aa=10Aa=15A2.8势垒贯穿重点讨论T与E，U0,a的关系T–a曲线U0=2.0eVEe=1.0eVEe=1.5eVEe=1.99eVEe=2.2eVEe=2.5eVEe=3.0eV2.8势垒贯穿一些结论一些结论：1、当粒子能量小于势垒高度时透射几率不为零，隧道效应。2、隧道效应透射几率隧势垒高度、宽度、粒子能量变化很快。EU0时2.8势垒贯穿一些结论一些结论：3、当粒子能量大于势垒高度时仍然有很强的量子效应表现为：穿透几率不为1，有反射波、共振穿透等。222122222222122124()sin4TCJkkTJkkkakkA222222sin01sin12kakankakan透射最大,100%透射最小极值0min2004()4()EEUTEEUU最小极值(与a无关)EU0时2.8势垒贯穿一些结论一些结论：3、当粒子能量大于势垒高度时仍然有很强的量子效应表现为：穿透几率不为1，有反射波、共振穿透等。222122222222122124()sin4TCJkkTJkkkakkA222222sin01sin12kakankakan透射最大,100%透射最小极值0min2004()4()EEUTEEUU最小极值(与a无关)EU0时2.8势垒贯穿作业作业1：设计程序，计算本节中你感兴趣的或有疑问的问题。例如：波函数、计算粒子在空间分布几率、反射几率、透射几率等。画出相应的曲线、分析计算结果物理含义。程序设计时注意小量问题，特别注意浮点溢出。不同系统最大次方略有不同，有的是37次方，有的是45次方。我们系机房Fortran系统上限是37次方。也就是所大于大于等于1038时溢出，小于10-38为零。2.8势垒贯穿作业避免浮点溢出可调整运算顺序，“次方寄存”等22012222()2mEUmEkkK1_2=2.0*M*E/（H*H）分子分母都溢出K1_2=2.0*M/H/H*E调整顺序后结果正确，约1018-202212222222122124()sin4kkTkkkakk22124kkMe=9.1094E-31，Hbar=1.0546E-34，e=1.6022E-19次方超过37，所以分子分母都很大，可给分子分母同乘以因子T=10-20。2.8势垒贯穿作业作业2：一维方势阱如左图。000()00xUxUxaxa求当粒子能量E0时，透射系数、反射系数；计算分析结果；比较和经典结论的异同。2.8势垒贯穿探索思考探索思考：实验验证AV2.8势垒贯穿探索思考2.8势垒贯穿探索思考2.8势垒贯穿探索思考作业、2.8势垒贯穿探索思考讨论时间2.8势垒贯穿