第五章 数值积分与数值微分

§5.1引言§5.2牛顿—柯特斯公式§5.3复化求积公式§5.4龙贝格求积公式第五章数值积分和数值微分5.1引言我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式baaFbFdxxf)()()(求得定积分求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了dxedxxxx10102sin和(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，表达式不太复杂，但积分后其表达式却很复杂。)322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF积分后其原函数F(x)为：32)(22xxxf例如函数(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算定积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。一、数值积分的基本思想积分值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如下图所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)badxxfI)(y=f(x)ab左矩形公式右矩形公式中矩形公式梯形公式Simpson公式)()(afabI)()(bfabI)2()(bafabI)]()([2)(bfafabI)]()2(4)([6)(bfbafafabI:问题的提出和解决办法=()d()().baIfxxfba0()dnbkkakfxxwf回顾我们高等数学所学定积分的求取二、代数精度的概念.,1,m次代数精度定义1则称该求积公式具有立成次的多项式等式不准确而对于某一个都准确成立的多项式对于所有次数不超过若一个求积公式mm即满足badx1baxdx如梯形公式)]()([)(bfafabdxxfba2abdxba1)(2221abdxxba)(33231abdxxbaabbfafab)]()([2)()]()([baabbfafab22)()]()([2222baabbfafab所以梯形公式具有1次代数精度20120202()1,,,2023fxxx将分别代入求积公式得012141,,,333解得10121012()d(1)(0)(1),,,.fxxwfwfwf例如：设有求积公式试确定系数使上述求积公式的代数精度尽量高构造数值求积公式实际上是求与的代数问题。iwix1444111(1)(1)33xdx1333111=(1)(1)033xdx3()fxx将代入公式mkabkxAkknikii,,2,1,0),(11110iw三、插值型求积公式)()(,,,101010knkknnnfxlxLfffbxxxan项式，就有拉格朗日插值多上已知函数值个互异节点在,d)(d)(d)(0nkkbakbanbafxxlxxLxxf得到0()d,()d.nbbkkkkaakfxxwfwlxx即得求积公式其中.称为插值型求积公式(1)0()[]()()d()d(1)!nnbbnjaajfRffxLxxxxxn它的余项为.d)(0它是插值型求积公式次代数精度至少具有求积公式nfwxxfnkkkba定理1四、求积公式的收敛性和稳定性,定义2在求积公式中若有00lim()()d,nbkkankhwfxfxx11max(),.iiinhxx其中则称求积公式是收敛的030,0,()(0,,),|()()|[()()],.kknnnkkkkfxfknIfIfwfxfx定义若只要就有则称求积公式是稳定的.]~)([|)~()(|),,,1,0(~)(,)(0knkkknnkkkkkfxfwfIfInkfxfxf则有即有误差设00,1,,),.kwn若求积公式中系数（则求积公式是稳定的定理2.)()(~)(||,),,0(~)(,00abwxfxfwRnkfxfnkknkkkknkk有时当这是因为一、Cotes系数dxxLdxxfbanba)()(nkkbakbankkkfdxxldxfxl00)()(nkkbankjjjkjfdxxxxx00将区间[a,b]n等分nkkhaxnabhk,,,,,10thax记§5.2牛顿—柯特斯公式nkkbankjjjkjfdxxxxx00nkknnkjjfthadjhakhajhatha000)(nkknnkjjfdtjkjth000nkknnkjjfdtjkjth000nkknnkjjfdtjtnkkkh0001111)()()()(nkknnkjjknfdtjtknknab0001)()!(!)(nkknnkjjknfdtjtknknab0001)()!(!)(nkknnkjjknfdtjtknnkab0001)()!(!)()(nkknkfCab0)()(Cotes系数nkknknfCabI0)()(Newton-Cotes公式nnkjjknnkdtjtknnkC001)()!(!)()(当时1n1010011011dtjtCjj)()()(2121110102ttdtt)(10101101121tdtdtjtCjj)()(由nkknknfCabI0)()(得求积公式1n就是将区间[a,b]一等分)]()([)(bfafabffabI22101梯形公式通常记为)]()([bfafabT2nnkjjknnkdtjtknnkC001)()!(!)()(当时2n2023202022331412141tttdtttC))(()(612424361664312122120232021ttdtttC)()(nnkjjknnkdtjtknnkC001)()!(!)()(6121314114120232022ttdtttC)()(此时，求积公式为)()(bfbafafabSI2462Simpson求积公式当时可得4n9079032901290329074443424140)()()()()(,,,,CCCCC同理,4321047321232770fffffabCI此时，求积公式为Cotes求积公式Cotes系数表当n=8时，出现了负系数)()(bfbafafabS2461、考虑Simpson公式baabdxababS1416baabxdx222222622abbbaaabSbaabdxx3332326332222abbbabaaabS二、Newton-Cotes公式的代数精度及误差baabdxx4443333216bbaaabS)(Simpson公式具有三次代数精度4232323236443223abbabbaaabbabbaaabdxx4444416)(而定理n为偶数时求积公式nkknknfCabI0)()(至少具有n+1次代数精度。2、误差分析以梯形公式误差为例baTdxxLxfTIR)()(1],[,))()((''badxbxaxfba21))(()(,)()(''bxaxxgdxxgfba21ab)(xg积分中值定理如果在保号且可积，)(],,[)(xgbaCxf],[ba],[ba使babadxxgfdxxgxf)()()()(则存在特别地，如果则有1)(xg))(()(abfdxxfba))(()(bxaxxg因为保号且可积，由积分中值定理得baTdxxgfR)()(''21],[,))(()(''badxbxaxfba21baabxxbaxf2323121)('')()()(''abababbaabf22332321)('')()(''fabbaabfab12622322所以baTdxbxaxfR))(()(''21同理45(4)(4)()()(),[,]18022880SbababaRffab6(6)7(6)2()()9454()(),[,]230999580CbabaRfbafab误差取决于区间[a,b]的长度。由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n≥8时的牛顿—柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。§5.3复化求积公式.问题的提出和解决办法复化求积公式可以克服高次Newton-Cotes公式计算不稳定的问题,运算简单且易于在计算机上实现。把积分区间[a,b]平均分成若干小区间[xk,xk+1]复化求积法的基本思想第一步，在每个小区间上采用次数不高的Newton-Cotes求积公式，如梯形公式或Simpson公式；第二步，对每个区间的近似积分值求和，用所得的值近似代替原积分值。如此得到的求积公式称为复化求积公式。则得复化梯形公式梯形公式并在每个小区间上应用其中个小区间等分为把区间,),1,,1,0,(,],,[],[1ninabhihaxxxnnbaiii一、复化梯形公式.)]()(2)([2)]()([2d)(d)(I11101101niiniiinixxbabfxfafhxfxfhxxfxxfii.)]()(2)([2)]()([210101