平面向量知识归纳和题型总结

1平面向量章节分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体,是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几何运算和基本定理1.向量的相关概念2.向量的线性运算23.向量的共线定理非零向量a与向量b共线,当且仅当存在唯一一个实数,使ba。延伸结论:,,ABC三点共线//ABAC当且仅当有唯一R,使ABAC4.平面向量的基本定理如果12,ee是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122aee,其中不共线的向量12,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.练习:（1）已知12,ee是平面向量的一组基底,11122122,axeyebxeye,①若ab当且仅当12xx且12yy.②若0,a则120xx.（2）如图,OAOB为单位向量，||23OC，其中,OAOB的夹角为120，,OAOC的夹角为30。若OCOBOA，求,的值。5.一个常用结论:ABC△中,M为边BC的中点,则有:2AMABAC.练习:设ABC的重心为点G,设,.ABaACb试用,ab表示AG.典型例题分析:知识点一:基本概念例1.1.如果12,ee是平面内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有()①12ee(,R)可以表示平面内的所有向量;平面内的所有向量都可以表示成12ee(,R)。②对于平面中的任一向量a使12aee的,有无数多对;③若向量1112ee与2122ee共线,则有且只有一个kR,21221112()keeee④若实数,使12ee0,则0.A.①②B.②③C.③④D.②练习:1)判断下列命题的真假(1)向量AB与向量CD为共线向量,则DCBA,,,四点共线.(2)若ABCD则四边形ABCD为平行四边形.(3)若向量ab∥,bc则ac.3(4),ab是两个向量,则||||||abab当且仅当,ab不共线时成立知识点二:向量的线性运算例1.化简:(1);ABBCCA(2)();ABMBBOOM(3);OAOCBOCO(4);ABACBDCD(5);OAODAD(6);ABADDC(7).NQQPMNMP例2.如图,四边形ABCD,E,F分别为AD,BC的中点,求证:2ABDCEF.练习:（1)已知ABC△三个顶点A,B,C及平面内一点P,若PAPBPCAB,则()A.P在ABC△内部B.P在ABC△外部C.P在AB边所在直线上D.P在线段BC上(2)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任意一点,则OAOBOCOD=..2C.3OMD.4AOMBOMOM知识点三:平面向量基本定理和共线定理例1.1）已知12,ee为不共线向量,1232,aee122,bee1274cee用,ab表示c.2)设1e,2e是两个不共线的向量,已知122ABeke,1223CBee,122CDee若A,B,D三点共线,求k的值.例2.证明:平面内三点,,ABC共线存在两个均不为0的实数,mn,使,OAmOBnOC且1.mn练习:证明:平面内三点,,ABC共线存在三个均不为0的实数,,lmn,使0,lOAmOBnOC且0.lmn向量数量积及坐标运算一、基本知识回顾:1、已知向量,,ab其中1122(,),(,)axybxy:向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,即可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合了起来向量几何表示或运算向量运算与关系向量坐标表示或运算平行四边形法则或三角形法则向量加减法1212(,)abxxyy实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa实数与向量的积1112(,)(,)axyxxabcos,abab数量积abab2121yyxx存在唯一的实数，使ab（0b）向量//ab(0)b12212121yxyxyyxx0ab向量ab02121yyxxa2a(22aa)向量的模aa2121yxcos,ababab向量夹角ab，121222221122cos,xxyyabxyxy4//ABBCBCABCBA,,三点共线,1OAxOByOCxy且练习:1、判断下列命题的真假1）若向量//ab,//bc,则//ac.2）若,abbc则ac3）()(),abcabc4）222()2abaabb5）abab6）00,00aa2、已知(4,2),(,3)abx.若//ab,则x;若ab,则x.3、已知),3,7(),1,4(BA则与AB同向的单位向量是,与AB平行的单位向量是.4、已知点(1,5)A和向量(2,3)a,若3ABa,则点B的坐标为5、已知(5,5),(6,3)ab,(1,8)c,若ambnc,求实数.,nm6、已知(1,0),(2,1)ab,则|3|ab7）下列各组向量中,可以作为平面基底的是（）A.12(0,0),(2,1)eeB.12(4,6),(6,9)eeC.12(2,5),(6,4)eeD.1213(2,3),(,)24ee8）已知//ab,3,4,ab则a在b方向上的投影为二、典型例题讲解例1:1）已知3,4,aba与b的夹角为43,求:（1）a在b方向上的投影（2）(32)(2)abab（3）ab2）4、在直角ABC△中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是（）A.2||ACACABB.2||BCBABCC.2||ABACCDD.22||||ACABBABCCDAB（）（）3）已知向量21,ee夹角为o60，baetebeeaee与若212121,72,1,2的夹角为锐角，求t的范围。练习:1）已知向量a,b满足1,2,2,abab则ab2）在ABC中，已知8,7,120,ABBCABC求边AC的长度例2:1）已知(2,3),A(4,3)B,点P在线段AB的延长线上,且3||||2APPB,求点P的坐标（若点P在直线AB上）2）在ABC中,点P在BC上,且PCBP2,点Q是AC的中点,若),3,4(PA)5,1(PQ,则BC例3:已知向量)21,sin(am,)cos,21(n.（Ⅰ）当22a,且nm时,求2sin的值;（Ⅱ）当0a,且m∥n时,求tan的值.5解:（Ⅰ）当22a时,)21,sin22(m,nm,由0nm,得22cossin,………3分上式两边平方得212sin1,因此,212sin.……………6分（Ⅱ）当0a时,)1,sin(m,由m∥n得41cossin.即212sin.………9分2tan1tan22sin,32tan或32.…………12分例4、已知向量)2sin,2(cos),23sin,23(cosxxbxxa.且]2,0[x1)当ba时,求x的集合;2)求ba;3）求函数4||yabab的最小值4）求函数2||yabab的最小值5）若babaxf2的最小值是23,求实数的值.练习:1）设,ab是不共线的两非零向量,若||||ab,且,ab夹角为60,求t为何值时,||atb的值最小.2）已知向量a=33(cos,sin),22xxb=(cos,sin)22xx且x∈[,]34.（1）求a·b及|a+b|;(2)若()fx=a·b-|a+b|,求()fx的最大值和最小值.向量与三角形平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件,在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质,因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.三角形之心一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.是三角形三边中垂线的交点.（下左图）二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）三、垂心6三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.（下左图）四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.是三角形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）知识点一、三角形形状与向量1、已知向量321,,OPOPOP满足条件0321OPOPOP,且1|||||321OPOPOP,求证321PPP是正三角形.2、O是ABC所在平面上的一点,若0)2()(OAOCOBOCOB,则ABC是三角形.3、已知非零向量,ABAC和BC满足()0||||ABACBCABAC且22||||ACBCACBC,则ABC为.4、若O为ABC所在平面内一点,且满足,2OAOCOBOCOB则ABC的形状为（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5、已知非零向量AB与AC满足0)||||(BCACACABAB且21||||ACACABAB,则△ABC为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路分析:1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选D.2.由于||||ACACABAB所在直线穿过△ABC的内心,则由0)||||(BCACACABAB知,ACAB（等腰三角形的三线合一定理）;又21||||ACACABAB,所以3A,即△ABC为等边三角形,故选D.知识点二、三角形的“心”与向量重心在△ABC中,AD为BC边上的中线,根据向量加法的平行四边形法则,可得ADACAB2.这说明ACAB所在的直线过BC的中点D,从而一定通过ABC的重心.另外,G为ABC的重心的充要条件是0GCGBGA或)(31OCOBOAOG,（其中O为ABC所在平面内任意一点）,这也是两个常用的结论.例1.已知CBA,,是平面上不共线的三点,O是ABC的外心,动点P满足71[(1)(1)(12))]()3OPOAOBOCR,则P的轨迹一定通过ABC的（）A.内心B.垂心C.外心D.重心思路分析:取AB边的中点M,则OMOBOA2,由1[(1)(1)(12))]()3OPOAOBOCR可得322()3(12)OPOMOCOCOMOMMC,所以MCMP321)(R,即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线,故选D.垂心在ABC中,由向量的数量积公式,可得0)cos||cos||(BCCACACBABAB,这说明CACACBABABcos||cos||所在直