高中数学解析几何专题(精编版)

1高中解析几何专题（精编版）1.（天津文）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2。点(,)Pab满足212||||.PFFF（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆22(1)(3)16xy相交于M，N两点，且5||||8MNAB，求椭圆的方程。【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)FcFcc，因为212||||PFFF，所以22()2acbc，整理得2210,1cccaaa得（舍）或11,.22cea所以（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,3acbc，可得椭圆方程为2223412xyc，直线FF2的方程为3().yxcA，B两点的坐标满足方程组2223412,3().xycyxc消去y并整理，得2580xcx。解得1280,5xxc，得方程组的解21128,0,53,33.5xcxycyc不妨设833,55Acc，(0,3)Bc，所以2283316||3.555ABcccc于是5||||2.8MNABc圆心1,3到直线PF2的距离|333|3|2|.22ccd因为222||42MNd，所以223(2)16.4cc整理得2712520cc，得267c（舍），或2.c2所以椭圆方程为221.1612xy2.已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为（22,0），斜率为I的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求PAB的面积.【解析】解：（Ⅰ）由已知得622,.3cca解得23.a又2224.bac所以椭圆G的方程为221.124xy（Ⅱ）设直线l的方程为.mxy由141222yxmxy得.01236422mmxx设A、B的坐标分别为),)(,(),,(212211xxyxyxAB中点为E),(00yx，则,432210mxxx400mmxy因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率.143342mmk解得m=2。此时方程①为.01242xx解得.0,321xx所以.2,121yy所以|AB|=23.此时，点P（—3，2）到直线AB：02yx的距离,2232|223|d所以△PAB的面积S=.29||21dAB33.(全国大纲文)已知O为坐标原点，F为椭圆22:12yCx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交与A、B两点，点P满足0.OAOBOP（Ⅰ）证明：点P在C上；（II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。【解析】22．解：（I）F（0，1），l的方程为21yx，代入2212yx并化简得242210.xx…………2分设112233(,),(,),(,),AxyBxyPxy则122626,,44xx1212122,2()21,2xxyyxx由题意得3123122(),()1.2xxxyyy所以点P的坐标为2(,1).2经验证，点P的坐标为2(,1)2满足方程221,2yx故点P在椭圆C上。（II）由2(,1)2P和题设知，2(,1)2QPQ的垂直一部分线1l的方程为2.2yx①设AB的中点为M，则21(,)42M，AB的垂直平分线为2l的方程为21.24yx②由①、②得12,ll的交点为21(,)88N4222212222221311||()(1),288832||1(2)||,232||,4221133||()(),48288311||||||,8NPABxxAMMNNAAMMN故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上。4.（全国新文）在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线0xya交于A，B两点，且,OAOB求a的值．【解析】解：（Ⅰ）曲线162xxy与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（).0,223(),0,223故可设C的圆心为（3，t），则有,)22()1(32222tt解得t=1.则圆C的半径为.3)1(322t所以圆C的方程为.9)1()3(22yx（Ⅱ）设A（11,yx），B（22,yx），其坐标满足方程组：.9)1()3(,022yxayx消去y，得到方程.012)82(222aaxax由已知可得，判别式.0416562aa因此，,441656)28(22,1aaax从而2120,422121aaxxaxx①由于OA⊥OB，可得,02121yyxx又,,2211axyaxy所以.0)(222121axxaxx②由①，②得1a，满足,0故.1a5.（辽宁文）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴5上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．【解析】解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xybyxCCababaa设直线:(||)lxtta，分别与C1，C2的方程联立，求得2222(,),(,).abAtatBtatba………………4分当13,,,22ABebayy时分别用表示A，B的纵坐标，可知222||3||:||.2||4BAybBCADya………………6分（II）t=0时的l不符合题意.0t时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212||,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线l，使得BO//AN；当212e时，存在直线l使得BO//AN.………………12分6.（江西文）已知过抛物线()ypxp的焦点，斜率为的直线交抛物线于(,)Axy和(,)()Bxyxx两点，且AB,（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OBOAOC，求的值．【解析】19．（本小题满分12分）6（1）直线AB的方程是22()2pyx，与22ypx联立，从而有22450,xpxp所以：1254pxx由抛物线定义得：12||9,ABxxp所以p=4，从而抛物线方程是28.yx（2）由224,450pxpxp可简化为212540,1,4,xxxx从而1222,42,yy从而(1,22),(4,42)AB设33(,)(122)(4,42)(41,4222)OCxy又22338,[22(21)]8(41),yx即即2(21)41解得0,2.或7.（山东文）22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy．如图所示，斜率为(0)kk＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm．（Ⅰ）求22mk的最小值；（Ⅱ）若2OGOD∙OE，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．【解析】22．（I）解：设直线(0)lykxtk的方程为，由题意，0.t由方程组22,1,3ykxtxy得222(31)6330kxktxt，由题意0，所以2231.kt设1122(,),(,)AxyBxy，由韦达定理得1226,31ktxxk所以1222.31tyyk由于E为线段AB的中点，因此223,,3131EEkttxykk7此时1.3EOEEykxk所以OE所在直线方程为1,3yxk又由题设知D（-3，m），令x=-3，得1mk，即mk=1，所以2222,mkmk当且仅当m=k=1时上式等号成立，此时由0得02,t因此当102mkt且时，22mk取最小值2。（II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为1,3yxk将其代入椭圆C的方程，并由0,k解得2231(,)3131kGkk，又2231(,),(3,)3131ktEDkkk，由距离公式及0t得22222222222222223191||()(),313131191||(3)(),391||()(),313131kkOGkkkkODkkktttkOEkkk由2||||||,OGODOEtk得因此，直线l的方程为(1).ykx所以，直线(1,0).l恒过定点（ii）由（i）得2231(,)3131kGkk若B，G关于x轴对称，则2231(,).3131kBkk代入22(1)3131,ykxkkk整理得即426710kk，解得216k（舍去）或21,k所以k=1，此时3131(,),(,)2222BG关于x轴对称。又由（I）得110,1,xy所以A（0，1）。由于ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设ABG的外接圆的圆心为（d，0），因此223111(),,242ddd解得故ABG的外接圆的半径为2512rd，8所以ABG的外接圆方程为2215().24xy8.（陕西文）17．（本小题满分12分）设椭圆C:222210xyabab过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标。【解析】17．解（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得2161b∴b=4又35cea得222925aba即2169125a，∴a=5∴C的方程为2212516xy（Ⅱ）过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与Ｃ的交点为Ａ11,xy，Ｂ22,xy，将直线方程435yx代入Ｃ的方程，得22312525xx，即2380xx，解得13412x，23412x，AB的中点坐标12322xxx，1212266255yyyxx，即中点为36,25。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。9.（上海文）22．（16分）已知椭圆222:1xCym（常数1m），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)。（1）若M与A重合，求C的焦点坐标；（2）若3m，求||PA的最大值与最小值；（3）若||PA的最小值为||MA，求m的取值范围。【解析】2