2013新课标高考数学理一轮复习课件：9.3 空间点、线、面之间的位置关系

1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线_____________．公理2：过不在_____________的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面_____________，那么它们有且只有_______________________．两个点在这个平面内同一条直线上有一个公共点一条过这个点的公共直线2．空间中直线与直线的位置关系(1)_____________________的两条直线叫做异面直线．(2)空间两条直线的位置关系有且只有以下三种：(3)公理4：平行于同一直线的两条直线_________，这一性质称为空间平行线的_______．共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.不同在任何一个平面内相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.互相平行传递性(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角___________．(5)已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说___________________．相等或互补锐角(或直角)这两条直线互相垂直1．以下说法正确的是()A．经过三点确定一个平面B．经过一直线和一点确定一个平面C．两直线没有公共点，则两直线异面D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合解析：A.不共线的三点确定一个平面；B.一直线和直线外一点确定一个平面；C.两直线没有公共点，可能平行或异面；D.两个不重合的平面相交，必交于一直线．答案：D2．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC解析：由题意，D∈l，l⊂β，所以D∈β.又D∈AB，所以D∈平面ABC，即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD.答案：C3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与BC1所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由AC∥A1C1，连结A1C1与A1B，∠BC1A1为所求角，由于△BC1A1为等边三角形，则∠BC1A1＝60°.答案：C4．(2011·浙江)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：直线l不平行于平面α，l⊄α，所以l与α相交，故选B.答案：B1．公理的应用(1)证明共面问题．证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．(2)证明三点共线问题．证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在这两个平面的交线上，再证明第三个点是这两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．(3)证明三线共点问题．证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题转化为证明点在直线上的问题．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)根据异面直线的定义．(2)异面直线的判定定理．(3)反证法．(一般情况下反证法为证明异面直线的方法)3．求异面直线所成角的方法求异面直线所成的角是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题来解决的．根据等角定理及推论，异面直线所成的角的大小与顶点的位置无关，将角的顶点取在一些特殊点上(如线段端点、中点等)，以便于计算，具体步骤如下：(1)利用定义构造角；(2)证明所作出的角为异面直线所成的角；(3)解三角形求角．考点一考查平面基本性质的命题【案例1】已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3关键提示：考查平面的基本性质．(即时巩固详解为教师用书独有)解析：根据平面的基本性质进行判断．①不正确，若此三点共线，则过共线的三点有无数个平面．②不正确，当A、B、C三点共线时，P、A、B、C四点共面．③不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面．④不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形．答案：A【即时巩固1】A、B、C分别表示不同的三点，l表示直线，α、β表示两个不同的平面，下列推理不正确的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝直线ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线⇒α与β重合解析：由公理1知A正确；由公理3知B正确；由公理2知D正确；对于C，由l⊄α，有两种情况：l∥α或l与平面α相交，C不正确．故选C.答案：C考点二共点、共线、共面问题【案例2】如图，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF、GH、BD交于一点．关键提示：先证E、F、H、G四点共面，再证O点在直线BD上．证明：因为E、G分别为BC、AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，所以FH∥GE，所以E、F、H、G四点共面，所以四边形EFHG是一个梯形．设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两个平面的交线上．因为这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF、GH、BD交于一点．【即时巩固2】正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C∩平面BDC1＝O，AC和BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．证明：因为A1A∥C1C，所以AA1C1C确定平面AA1C.因为A1C⊂平面AA1C，O∈A1C，所以O∈平面AA1C.又A1C∩平面BDC1＝O，所以O∈平面BDC1.所以O在平面BDC1与平面AA1C的交线上．又AC∩BD＝M，所以平面AA1C∩平面BDC1＝C1M.所以O∈C1M，即O、C1、M三点共线．考点三异面直线问题【案例3】如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．求异面直线AB与MD所成角的大小．关键提示：先找出异面直线AB与MD所成角的二面角的平面角，再求解．解：因为CD∥AB，所以∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)．作AP⊥CD于点P，连结MP.因为OA⊥平面ABCD，所以CD⊥MP.因为∠ADP＝π4，所以DP＝22.因为MD＝MA2＋AD2＝2，所以cos∠MDP＝DPMD＝12，∠MDC＝∠MDP＝π3.所以AB与MD所成角的大小为π3.【即时巩固3】如图，已知α∩β＝a，b∈β，a∩b＝A，c⊂α，c∥a，求证：b，c是异面直线．证明：(反证法)假设b，c不是异面直线，即假设b，c在同一平面γ内，即b∥c或b与c相交．若b∥c，由c∥a，得a∥b，与已知条件a∩b＝A矛盾．若b与c相交，记交点为P，则P∈α且P∈β，又由α∩β＝a，得P∈a，即直线a与c相交，与已知a∥c矛盾．综上可知，假设不成立，即直线b，c为异面直线．