热点重点难点 专题透析 2014高考复习 专题2 数列(二轮复习0

专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【考情报告】专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【考向预测】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考数学中有着十分重要的地位，从安徽高考卷近几年对数列的考查来看：专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)在知识点上对等差、等比数列以及数列求和是重点．在考查学生能力方面要求较高，解答题都是在知识交汇点上出题．预测2014年的高考题题型仍将是“一大一小”，在平时复习与训练中要注意基本方法与基本题型．同时我们要注意“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中的重要性，巧用“基本量”并树立“目标意识”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题目的结论．在考查方向上我们要注意以下方面：一是等差数列、等比数列的基本量的计算；二是能熟练掌握Sn与an的关系；三是对等差数列与等比数列乘积式的求和，我们要熟练使用“错位相减法”；四是裂项求和问题；专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)另外我们在平时训练时，要加强在知识交汇点(如不等式、函数、导数、三角等)处对数列知识的应用．【问题引领】1．设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S6＝36，Sn＝324，Sn－6＝144(n＞6)，则n等于()．A．16B．17C．18D．19【解析】∵S6＋(Sn－Sn－6)＝6(a1＋an)＝36＋(324－144)＝216，∴a1＋an＝36.又∵Sn＝n（a1＋an）2＝324，∴n＝18.【答案】C专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)2．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【解析】设数列{an}的公差为d，那么(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋8×（8－1）2×2＝64.【答案】643．已知等比数列{an}满足：a1＋a2＋a3＋a4＝158，a2a3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝________．专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】等比数列{an}中，a1a4＝a2a3＝－98，那么1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝a1＋a4a1a4＋a2＋a3a2a3＝a1＋a2＋a3＋a4a2a3＝－53.【答案】－534．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．【解析】an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝33＋n2－n，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)所以ann＝33n＋n－1.设f(n)＝33n＋n－1，由f′(n)＝－33n2＋1＞0，得f(n)在(33，＋∞)上单调递增，在(0，33)上单调递减，因为n∈N＋，且a55＝535，a66＝636＝212，所以ann的最小值为a66＝212.【答案】212专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)5．在数列{an}中，已知a1＝14，an＋1an＝14，bn＋2＝3log14an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等差数列；(3)设数列{cn}满足cn＝an·bn，求{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)∵an＋1an＝14，∴数列{an}是首项为14，公比为14的等比数列，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)∴an＝(14)n(n∈N*)．(2)∵bn＝3log14an－2，∴bn＝3log14(14)n－2＝3n－2，∴bn＋1－bn＝(3n＋1)－(3n－2)＝3，∴数列{bn}是公差d＝3的等差数列．(3)由(1)(2)知，an＝(14)n，bn＝3n－2，n∈N*，∴cn＝(3n－2)×(14)n(n∈N*)，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)∴Sn＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n－5)×(14)n－1＋(3n－2)×(14)n，①于是14Sn＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n－5)×(14)n＋(3n－2)×(14)n＋1，②由①－②得34Sn＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n]－(3n－2)专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)×(14)n＋1＝12－(3n＋2)×(14)n＋1.∴Sn＝23－3n＋23×(14)n(n∈N*)．6．(2013广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Snn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an＜74.专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【解析】(1)当n＝1时，2S1＝a2－13－1－23，a1＝1，∴a2＝4.(2)由2Snn＝an＋1－13n2－n－23，得2Sn＝nan＋1－13n3－n2－23n，①当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23(n－1)，②由①－②得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，两边除以n(n专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)＋1)得ann＝an＋1n＋1－1，∴an＋1n＋1－ann＝1(n≥2)，又n＝1时，a22－a11＝1.∴数列{ann}是首项为1，公差为1的等差数列．∴ann＝1＋(n－1)＝n，∴an＝n2.(3)由(2)知1an＝1n2＜1（n－1）n＝1n－1－1n(n≥2，n∈N*)，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)∴1a1＋1a2＋…＋1an＝1＋14＋19＋…＋1n2＜1＋14＋12×3＋…＋1（n－1）n＝1＋14＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1－1n)＝74－1n＜74.【诊断参考】1．等差数列及其求和公式是考试的重点，一方面我们应该熟悉公式，同时又要熟练运用公式的变形，很多学生解答本题时机械地套用公式，这样计算量大，如果我们能够发专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)现S6＋(Sn－Sn－6)＝S6＋(an－5＋an－4＋…＋an)＝6(a1＋an)，可简化运算，我们要注意高考数列题的“小、巧、活”的特点．2．本题是等差数列与等比数列的基本题，我们按基本知识求解即可．3．等比数列基本量的计算是重点，我们常常通过公式挖掘Sn、an、n、q之间的关系求解，本题我们发现a1a4＝a2a3，后面通分后整体处理使问题迎刃而解．如果本题死套公式去求解，会由于变量难以处理而不好解决．4．本题考查了递推数列通项公式的求解以及构造函数，利用导数判断函数的单调性，考查了综合运用知识解决问题的能力．同学们往往对数列的函数性理解得不深刻或对利用专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)导数解决这类题不熟练．5．本题的第一问是求等比数列的通项，比较基础；第二问的关键是有些同学对对数知识不熟练从而容易产生错误，第三问是我们熟悉的一个等差数列与等比数列的乘积式求和，我们只要熟悉“错位相减法”即可，但在实践中许多学生由于计算能力不强而导致错误百出，所以我们一定要突破这个重点．6．一方面：数列中Sn与an的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实掌握Sn与an的关系．另一方面：本题第三问的裂项求和也是我们考查的重点与难点，同学们往往在适度放缩这里卡住，我们平时的专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)训练与理解要到位.【知识整合】1．Sn与an的关系在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an，从而an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．等差数列的公式与性质专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)如果数列{an}是公差为d的等差数列，则(1)an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2.(2)对正整数m，n，p，q，有am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q，am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p.3．等比数列的公式与性质如果数列{an}是公比为q的等比数列，则专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)(1)an＝a1qn－1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.(2)对正整数m，n，p，q，有aman＝apaq⇔m＋n＝p＋q，aman＝a2p⇔m＋n＝2p.4．等差、等比数列前n项和Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列；若等比数列的前n项和为Sn，则在Sm不等于0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．5．在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)(1)当a1＞0，d＜0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sm取最大值．(2)当a1＜0，d＞0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sm取最小值．在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用．6．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)证明法等．【考点聚焦】热点一：等差数列的通项、求和及其性质在等差数列问题中，最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就可以解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a5，a13成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn等于()．专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)A.n24＋7n4B.n23＋5n3C.n22＋3n4D．n2＋n【分析】根据等差数列与等比数列的概念列出等式，从而求解．【解析】根据a1，a5，a13成等比数列得(2＋4d)2＝2(2＋12d)，解得d＝12，故其前n项和只能是选项A.注意等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn，其中A＝d2.专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)【答案】A【归纳拓展】要解决等差数列的前n项和问题，一般只要寻找首项a1与公差d及an、Sn之间的关系，然后求解．变式训练1设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．【解析】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴4a1＋4×32d≥10，5a1＋5×42d≤15，即2a1＋3d≥5，a1＋2d≤3，专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)∴5－3d2≤a1≤3－2d，∴5－3d2≤3－2d，∴d≤1，∴a4＝(a1＋2d)＋d≤3＋d≤3＋1＝4.故a4的最大值为4.【答案】4(2013江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1（n＋2）2a2n，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)对于任意的n∈N*，都有Tn＜564.【分析】合理因式分解是解题的突破口，裂项相消是解题的关键．【解析】(1)由S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项an＝2n.专题2热点重点难点专题透析·数学(理科)(2)由于an＝2n，bn＝n＋1（n＋2）2a2n，则bn＝n＋14n2（n＋2）2＝116[1n2－1（n＋2）2]．Tn＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n－1）2－1（n＋1）2＋1n2－1（n＋2）2]＝116[1＋122－1（n＋1）2－1（n＋2）2]＜116(1＋122)＝564.【归纳拓展】在含二元的二次等式中，确定主元是正确专题2热点重点难