高等代数课件-§4__向量的外积

§4向量的外积从力学中知道，作用在A点上的力F关于支点O的力矩M的大小为1sin,,MFOAFOAFOA力矩M的方向为：让右手四指从弯向F（转角小于），则拇指指向为M的方向.本节我们来研究类似于从和F求力矩M这样的向量运算.OAOA4.1向量的外积的定义1.定义1.11两个向量a与b的外积（记作a×b）仍是一个向量，它的长度规定为：,,sin:bababa它的方向规定为：与a,b均垂直，并且使(a,b,a×b)成右手系，即，当右手四指从a弯向b（转角小于）时，拇指的指向就是a×b的方向.如果a,b中有一个为，则a×b:=.00a×b=的充分必要条件是a与b共线.04.2向量的外积的几何意义，平面的定向abab与不共线时，边形的面积。表示以,ab为邻边的平行四平面的定向就是平面上的旋转方向，通常平面几何中的“逆时针方向”与“顺时针方向”不适用。给定平面上的一对不共线的向量，若规定了它们的先后顺序，则从第一个向量到第二个向量的转角小于的旋转方向就称为平面的一个定向。平面的两个定向对应平面的两侧，平面的两侧又可用垂直于平面的两个方向（或单位向量）来刻画。外积的几何意义：现假定用单位向量e给出了平面的定向，则对于平面上的定向平行四边形，可以给它的面积一个正负号，这叫做定向平行四边形的定向面积，用(a,b)表示，从而,ababe一个环形方向，称其为定向平行四边形。从而外积的方向的几何意义就是它给以为邻边的平行四边形确定了一个定向。ab,ab为邻边的平行四边形的的方向给出了以,abab4.3向量的外积的运算规律证明设,其中.由直角三角形的解法知，21bbbabab21,//,,sin2babb于是.,sin22bababababa由图1.23易看出，a×b与的方向相同，2ba所以2baba1.命题1.9若a≠0,则，其中是b沿方向a的外射影.2b2baba2.命题1.10设e是单位向量，b⊥e,则等于b按右手螺旋规律绕e旋转90°得到的向量.be'b证明,',sinbbbebebe又由图1.24看出，与同向，be'b所以'bbe3.推论1.4若为右手直角坐标系则有],;[32,1eeeO.,,213132321eeeeeeeee4.定理1.7外积适合下列运算规律：对于任意向量a,b,c和任意实数，均有(1)a×b=-(b×a)(反交换律)，(2)(a)×b=(a×b)，(b+c)×a=b×a+c×a(右分配律).(3)a×(b+c)=a×b+a×c(左分配律)，证明（1）由定义1.11立即得到.（2）bababababa,sin,sin)(,)(baba当时，与a同向，0a所以×b与(a×b）同向；a当时，×b与a×b反向0a从而×b与(a×b)同向，因此有a(a)×b=(a×b)(3)先证左分配律.若a=,则结论显然成立.0下设a≠，因为0)],([)()()(00cbaacbaacba所以只要考虑).(0cba201//cac设，其中；21bbb201//bab设，其中.21ccc于是).()(2211cbcbcb因为于是据命题1.9得：022011)(,//)(acbacb).()(2200cbacba再据命题1.10知，)(220cba等于)(22cb绕右旋90°得到的向量.0a从而得)]([)]([)(2200cbaacbaacba)(2020cabaa)(00cabaa.caba再证右分配律.)()()(cabacbaacb)(cabaacab4.4用坐标计算向量的外积1.先取一个仿射标架,设a,b的坐标分别是,，则],,;[321eeeO),,(321aaa),,(321bbb)()(332211332211ebebebeaeaeaba133113211221)()(eebabaeebaba322332)(eebaba现在设是右手直角标架，],,;[321eeeO则有2311312332)()(ebabaebababa.)(31221ebaba(1.28)222233231131221()()().ababababababab从而作为一种记忆方式，(1.28)可以形式地写成：333222111baebaebaeba2.定理1.8设a,b在右手直角坐标系中的坐标分别为则的坐标为,,,221133113322babababababa),,,(),,,(321321bbbaaaba4.5二重外积命题1.11对任意向量a,b,c，有.)()()(cbabcacba(1.31)(1.31)称为二重外积公式.证明取一个右手直角坐标系，设).,,(),,,(),,,(321321321ccccbbbbaaaa设的坐标为cb),,(321ddd设的坐标为)(cba),,(321hhh从而)()(311331211223321cbcbacbcbadadah)()(3322133221babaccacab)()(111111babaccacab.)()(11cbabca同理可得.)()(,)()(333222ccabcahcbabcah所以.)()()(cbabcacba思考题：证明下述的雅科比（Jacobi）等式：.0)()()(bacacbcba注意：向量的外积不适合结合律！