【中考复习方案】(北京专版)2016中考数学 第3单元 函数及其图象 第13课时 二次函数与方程、不

第13课时二次函数与方程、不等式第13课时┃二次函数与方程、不等式北京考点聚焦考向探究考点聚焦考点●1用待定系数法求二次函数的解析式方法适用条件及求法一般式若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a，b，c的值顶点式若已知二次函数的图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式交点式若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求二次函数为y＝a(x－x1)·(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式第13课时┃二次函数与方程、不等式考点●2二次函数与一元二次方程的关系(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程______________的根．抛物线与x轴的交点与方程根的关系：抛物线与x轴的交点个数Δ＝b2－4ac的符号方程有实数根的个数两个交点Δ0两个不相等的实根一个交点Δ＝0两个相等的实根没有交点Δ0没有实根(2)已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值为k，求自变量x的值，就是解方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解方程ax2＋bx＋c＝k，就是令二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值为0，求自变量的值．ax2＋bx＋c＝0考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式考点●3二次函数与一元二次不等式的关系求解不等式ax2＋bx＋c0不等式ax2＋bx＋c0的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴________方的点的横坐标所组成的集合求解不等式ax2＋bx＋c0不等式ax2＋bx＋c0的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴________方的点的横坐标所组成的集合备注不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号下上考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式考点●4二次函数的应用解决二次函数的应用问题的关键在于建立二次函数模型．在具体解题时，应认真审题，理解题意，再利用二次函数的性质解决问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润．考向探究考点聚焦考情分析北京考向探究第13课时┃二次函数与方程、不等式年份题型201120122013201420152016你来猜解答二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定解答二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程考向探究考点聚焦热考精讲第13课时┃二次函数与方程、不等式热考1确定二次函数解析式例1[2014·西城二模]抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c均为常数)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)若P是抛物线上一点，且点P到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P的坐标．考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，3)，∴c＝3，∴y＝x2＋bx＋3.又∵抛物线y＝x2＋bx＋3与x轴交于点A(1，0)，∴b＝－4，∴y＝x2－4x＋3.(2)点P的坐标为(5，8)或(－1，8)．考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式式题1[2014·房山一模]抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，C(0，4)两点，求抛物线的函数解析式．解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，C(0，4)两点，∴－1－b＋c＝0，c＝4，解得b＝3，c＝4.∴此抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4.考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式式题2已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，求此抛物线的函数解析式．解：∵抛物线的顶点坐标为(1，4)，∴设y＝a(x－1)2＋4.由于抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1.∴抛物线的函数解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式方法模型在求二次函数的解析式时，经常利用待定系数法，根据所给条件设出所求函数的解析式，然后由条件求出解析式中的系数．列方程或方程组是具体的方法，一般有几个待定系数就需要列几个方程．(1)已知任意三点的坐标选用一般式y＝ax2＋bx＋c(如果已知图象与y轴的交点，设函数解析式时可先将c值直接代入，使三元方程组变为二元，从而简化运算)；(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值，常选用顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)已知抛物线与x轴的两个交点坐标，常选用交点(双根)式y＝a(x－x1)(x－x2)．考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式热考2二次函数与方程、不等式的关系例2[2015·朝阳二模]已知：关于x的一元二次方程ax2－2(a－1)x＋a－2＝0(a＞0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＞x2)．若y是关于a的函数，且y＝ax2＋x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤－3a2＋1，则自变量a的取值范围为________．图13－1考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式解：(1)证明：∵ax2－2(a－1)x＋a－2＝0(a0)是关于x的一元二次方程，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4a(a－2)＝4，即Δ0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)由求根公式，得方程的根为x＝2（a－1）±22a，∴x＝1或x＝1－2a.∵a0，x1＞x2，∴x1＝1，x2＝1－2a，∴y＝ax2＋x1＝a－1，即y＝a－1(a0)为所求．(3)0＜a≤23.考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式式题“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面的问题：若m，n(mn)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且ab，则a，b，m，n的大小关系是()A．mabnB．amnbC．ambnD．manbA考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式[解析]将关于x的一元二次方程1－(x－a)(x－b)＝0的解m，n看作是二次函数y＝(x－a)·(x－b)的图象与直线y＝1的交点的横坐标．观察图象，可直接得到结论．考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式思想方法数形结合思想——利用函数图象比较实数的大小此题看上去是在解决方程根的问题，而其实质却是利用函数图象解决实数的大小比较问题．设y＝－(x－a)(x－b)，函数的图象为开口向下的抛物线，其与x轴的交点的横坐标分别是a，b.现令y＝－(x－a)(x－b)＋1，即使原函数的图象向上平移1个单位长度，此时图象与x轴的交点的横坐标分别是m，n.从图中可以看出mabn.考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式热考3用二次函数的性质解决实际问题例3[2015·丰台]某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间满足y＝－2x＋80(20≤x≤40)，设销售这种产品每天的利润为W(元)．(1)求销售这种产品每天的利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数解析式；(2)当销售单价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式解：(1)W＝y(x－20)＝(－2x＋80)(x－20)＝－2x2＋120x－1600.(2)W＝－2(x－30)2＋200，∴当销售单价定为30元/件时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式方法模型解二次函数实际应用题的基本步骤(1)“一找”：找出实际问题中的变量，并用字母表示；(2)“二表”：用含自变量的代数式表示其他量；(3)“三解”：用解析式表示等量关系，利用二次函数的知识解决问题；(4)“四验”：检验结果的合理性，对问题加以拓展和深化．实际问题中自变量的取值范围受实际条件限制，所以要检验计算结果的合理性，得出实际问题的正确答案．考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式热考4在坐标系中研究现实生活中的抛物线例4如图13－2是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽度为4m．当水面下降1m时，水面宽度增加了多少？(结果保留根号)图13－2考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式解：以抛物线形拱桥顶点所在水平线为x轴，所在竖直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y＝ax2(a0)．将A(2，－2)代入解析式，解得a＝－12，∴y＝－12x2.当y＝－3时，x＝±6，此时水面宽度为26m，∴水面宽度增加了(26－4)m.考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式式题有一抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，将它的纵截面放在如图13－3所示的平面直角坐标系中，求抛物线的函数解析式．图13－3[答案]y＝－125(x－20)2＋16考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式方法模型这是一类“形状是抛物线”的题，这类题比“规律是二次函数”的题(如图形、利润等)直观，需建立适当的坐标系，用待定系数法确定函数解析式，再用解析式解决有关问题．这类题还包括喷泉、掷铅球、涵洞、跳水运动等问题．在实际问题中建立直角坐标系后，一定要注意坐标系中的点与实际问题中量的关系，尤其是用负数表示的实际问题中的量．考向探究考点聚焦第13课时┃二次函数与方程、不等式思想方法转化思想——化实际问题到数学问题二次函数的应用常考的两种类型“用二次函数的性质解决实际问题”“在坐标系中研究现实生活中的抛物线”均为将实际问题转化到数学问题．将数学和生活实际进行有效地融合和链接，常见的探究问题有“矩形面积”“销售利润”“拱桥”等．考向探究考点聚焦