13导数的乘法与除法法则

4.2导数的乘法与除法法则])()([xgxf)()(xgxf前面学习了导数的加法与减法法则，下面进行复习回顾：对于导数的乘法与除法法则，我们能否给出这样的结论呢？)()()()(),()()()(xgxfxgxfxgxfxgxf答案是否定的，那么如何求导数的乘法与除法？请进入本节课的学习！××1.了解两个函数的乘、除的求导公式.2.会运用公式，求含有和、差、乘、除综合运算的函数的导数.（重点）3.函数和、差、乘、除导数公式的应用，运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线.（难点）探究点1导数乘法公式的推导应用提示：计算导数的步骤求y求xy求xyx0lim20020yf(x)xf(x),g(x)x.yf(x)g(x)xf(x)x设函数在处的导数为我们来求在处的导数.解析：给定自变量x0的一个改变量△x，则函数值y的改变量为220000220000222000000222000000yxxf(xx)xf(x),(xx)f(xx)xf(x)yxx(xx)f(xx)f(x)(xx)xf(x)xf(xx)f(x)(xx)x(xx)f(x).xx相应的平均变化率可写成2200x0000x022000x0x0,lim(xx)x,f(xx)f(x)limf(x),x(xx)xlim2x,x令由于)()()(2xfxxgxf知在x0处的导数值为因此，的导数为)(2xfx22xf(x)(x)f(x).20000xf(x)2xf(x).抽象概括一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是，我们有)()(xgxf和[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x),2f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[].g(x)g(x)比较与加减法则的不同特别地，当时，有.kxg)()()(xfkxkf思考交流：下列式子是否成立？试举例说明.设，试说明：23)(,)(xxgxxf)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf，.解析：32543223f(x)g(x)xx(x)5x,f(x)g(x)(x)(x)3x2x6x,显然同理)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf..例1求下列函数的导数：解：（1）函数y=x2ex是函数f（x）=x2与g（x）=ex之积，由导数公式表分别得出xf(x)2x,g(x)e2xx2x2x(xe)2xexe(2xx)e.根据两函数之积的求导法则，可得x.xyxxyexyxln)3(.sin)2(.)(21（2）函数是函数之积，由导数公式表分别得出xxysinxxgxxfsin)()(与1f(x),g(x)cosx.2xsinx(xsinx)xcosx.2x根据两函数之积的求导法则，可得（3）函数是函数之积，由导数公式表分别得出根据函数乘法的求导法则，可得xxylnxxgxxfln)()(与1f(x)1,g(x).x1(xlnx)1lnxxlnx1.x例2求下列函数的导数：2sinxx(1)y;(2)y.xlnxxxysin.1)(,cos)(xgxxf解：(1)函数是函数f（x）=sinx与g（x）=x之商，由导数公式表分别得出由求导的除法法则得22sinxcosxxsinx1xcosxsinx.xxx（2）函数是函数f（x）=x2与g（x）=lnx之商，根据导数公式表分别得出xxyln2.1)(,2)(xxgxxf由求导的除法法则得222212xlnxxxx(2lnx1)x.lnx(lnx)lnx求下列函数的导数：解析：3x1(1)yxsinx.(2)y.x123(1)y3xsinxxcosx.【变式练习】22(x1)(x1)(2)y(x1)2.(x1)探究点2导数四则运算法则的灵活运用较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数式化简，化为基本初等函数的和、差、积、商.(2)根据导数的四则运算法则和公式求导，注意公式法则的层次性．例3求下列函数的导数：22cosxx(1)yx(lnxsinx).(2)y.x1f(x)2x,g(x)cosx.x解：（1）函数y=x2(lnx+sinx)是函数f（x）=x2与g（x）=lnx+sinx的积，由导数公式表及和函数的求导法则分别得出由求导的乘法法则得2221xlnxsinx2xlnxsinxxcosxxx2xlnx2xsinxxcosx.2cosxxxy.2)(,1sin)(xxgxxf（2）函数可以看成是函数f（x）=cosx-x与g(x)=x2的商，由导数公式表及差函数的求导法则分别得出由求导的除法法则得222233sinx1xcosxx2xcosxxx(x)(1sinx)x2cosx2xxsinx2cosxx.xx求下列函数的导数：22x(1)y4x(x2).(2)y.x1解：(1)y4(x2)4x8x8.【变式练习】2222222(x1)2x2x(2)y(x1)22x.(x1)【提升总结】利用导数公式及导数运算法则求导的方法观察函数的结构特征，紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，分析函数能否直接应用导数公式求导.观察分析对不易于直接应用求导公式的函数，适当运用代数、三角恒等变换，对函数进行化简，优化解题过程.求导时应尽量避免使用积或商的求导法则，可在求导前先化简，然后求导，以简化运算.变形化简例4求曲线在点（1,1）处的切线方程.xxxfxln2)(xxxxf(x)x(2)lnx2(lnx)21(2ln2)lnx.x112f(1)12ln2ln13.1解：首先求函数的导函数将x=1代入f′(x),得所求切线的斜率y13(x1),y3x2.即在点（1,1）处的切线方程为xxxfxln2)(探究点3应用导数运算法则求曲线的切线已知函数f(x)＝ax－6x2＋b的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式．由函数f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，由切点为M点得f′(－1)＝－12.因为f′(x)＝ax2＋b－2xax－6x2＋b2，解析：【变式练习】所以－a－61＋b＝－2，a1＋b－2a＋61＋b2＝－12，解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故舍去b＝－1)，所以所求函数解析式为f(x)＝2x－6x2＋3.1.函数的导数是（）2y3x(x2)22A.3x6B.6xC8354xxy334255(4x3)A.B.4x3(x3x8)2.函数的导数为（）D22C.9x6D.6x63425(4x3)C.0D.(x3x8)3.函数xxycos2的导数为()2222A.y2xcosxxsinxB.y2xcosxxsinxC.yxcosx2xsinxD.yxcosxxsinxA4.下列求导数运算正确的是()2222xx32111A.x1B.logxxxxln2x2xcosxxsinxC.33logeD.cosxcosxB3ln4yx430xy5.(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为_____________.【分析】通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定切线方程，最后将方程化为一般式..解析：由曲线方程得，所以曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处切线的斜率k=3×0+4=4,所以曲线在点（1,1）处的切线方程为4x-y-3=0.6.求曲线y=f(x)=x3+3x－8在x=2处的切线的方程.3223f(x)(x3x8)3x3,kf(2)32315,f(2)23286,(2,6),y615(x2),15xy240.因为所以又因为切线过点所以代入点斜式得切线方程为即解：1.函数乘除的求导公式.2.会运用公式求含有和差乘除综合运算的函数导数.3.运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线.如果你问一个善于溜冰的人怎样获得成功时，他会告诉你：“跌倒了，爬起来。”这就是成功。