佛山保险公估有限公司可行性报告

第三章平稳随机过程的谱分析主要内容：介绍平稳随机过程的功率谱密度的概念、性质，以及功率谱密度与自相关函数之间的关系。介绍平稳离散时间随机过程的功率谱密度的定义及其与自相关函数的关系，并阐述了如何将香农采样定理推广应用于平稳随机过程，建立起连续时间随机过程与离散时间随机过程之间的相互变换关系，论及了两个联合平稳随机过程的互谱密度的定义、性质及其与互相关函数的关系。最后，扼要介绍白噪声的定义和性质。第三章平稳随机过程的谱分析重点及其要求：（1）平稳过程的自相关函数与功率谱密度之间、联合平稳过程的互相关函数与互谱密度之间皆互为傅立叶变换，知其一可求其二，并能求出平均功率、互功率。（2）对功率谱密度、互谱密度的定义及性质要熟记，以便灵活运用，解决有关问题。3.1随机过程的谱分析（一）随机过程的功率谱密度随机过程X(t)的样本函数x(t)不满足傅立叶变换绝对可积条件。尽管x(t)的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的。TTTdttxTQ2|)(|21lim过程的样本函数x(t)的截取函数定义为TtTttxtxT||,0||),()(3.1随机过程的谱分析当T为有限值时，截取函数满足绝对可积条件，其傅立叶变换存在，则有TTtjtjTXdtetxdtetxTX)()(),(显然xT(t)也应满足帕赛瓦定理，即deTXtxtjXT),(21)(dTXdttxXTT22|),(|21|)(|对上式作集平均、时间平均处理后，可得到随机过程的平均功率为3.1随机过程的谱分析dTTXEdttXETQXTTTT2]|),([|lim21)]([21lim22由此得到两个重要结论：（1）)]([2tXEAQ若过程X(t)是平稳的，则有)]([2tXEQ（2）设dSQX)(21则有TTXESXTX2]|),([|lim)(2我们称SX()为随机过程X(t)的功率谱密度函数。对平稳过程X(t)，则有dStXEX)(21)]([23.1随机过程的谱分析（二）功率谱密度与复频率面为了系统分析的方便，有时用复频率来代替实频率变量，于是，功率谱密度便是复变量S的函数，记为。最简单的情况就是，，此时记；当用-jS代替时，功率谱密度应记为或。有时也用复频率面上的零、极点图来研究功率谱密度。jS)(sSX0jS)(jsSX)(sSX3.1随机过程的谱分析例3.1设复随机过程其中a和0皆为实常数，是均匀分布在区间（0,/2）上的随机变量。试求X(t)的平均功率。)cos()(0tatX解：因为X(t)的均方值taadtaataaEtaEtXE0222/002202202222sin2)22cos(222)]22cos(22[)](cos[)]([是时间t的函数，故X(t)不是宽平稳的。可以求得X(t)的平均功率22sin221lim)]([20222adttaaTtXEAQTTT3.1随机过程的谱分析例3.2设2410510)(242XS解：用=-js代入得求用复频率s=j表示的SX(s))6)(6)(2)(2()5)(5(102410510)()(242sssssssssjsSsSXXj665522习题3.1设平稳随机过程X(t)的功率密度为225341625)(242XS求用复频率s=j表示的SX(s)，并在复频率面上画出SX(s)的零、极点图。3.2平稳随机过程的功率谱密度性质（一）平稳过程X(t)的功率谱密度的性质(1).0)(XS(2).功率谱密度SX()是的实函数。(3).)()(XXSS(4).SX()可积(5).)()(2'XXSS(6).在平稳过程中，有一大类过程，其功率谱密度是的有理函数，即02222222022222220)(dddCCCSSNMNMMMX式中S00,MN,此外，分母应该无实数根。3.2平稳随机过程的功率谱密度性质例3.3考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为9104)(242XS解：现在我们用复频率的方法来求。首先令s=j,得求过程的均方值)]([2tXE)]([2tXE)3)(1)(3)(1()2)(2(910)4()(242ssssssssssSXjjXdssSjtXE)(21)]([2利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分3.2平稳随机过程的功率谱密度性质左半平面有两个极点，在－1和－3处，于是，可以分别计算两个极点的留数为163|)3)(1)(3()2)(2(11ssssssK故485|)3)(1)(1()2)(2(33ssssssK247485163)]([2tXE习题3.2已知平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为23)(242XS求过程的均方值)]([2tXE3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系（一）关系式dettRASjXX),()(经分析，随机过程自相关函数的时间均值与过程功率谱密度之间构成了傅立叶变换对，即deSttRAjXX)(21),(若平稳过程满足dSX)(dRX|)(|3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系)()(XXSR、利用的偶函数特性，维纳－辛钦定理还可以表示为：0cos)(1)(dSRXX0cos)(2)(dRSXXdeRSjXX)()(deSRjXX)(21)(则有3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系（二）例解例3.4设平稳过程X(t)的自相关函数为其中a,0均为常数。求该过程的功率谱密度。解：02cos2)(aRX)]()([2][4)(212cos2)(002)()(22020000adeeadeeeadeaSjjjjjjX3.3平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数之间的关系例3.4设平稳过程X(t)的功率谱密度为求该过程的自相关函数和平均功率Q.解：231)(242XSdededeRjjjX)2(121)1)(2(12123121)(2222242利用留数定理，可求得||22||22122221)(ejzzejRzjX＝处的留数在221)0()]([2XRtXEQ习题3.3设随机过程Y(t)=aX(t)sin0t,其中a,0皆为常数，X(t)为具有功率谱密度SX()的平稳过程。求过程Y(t)的功率谱密度。3.4已知平稳随机过程X(t),具有功率谱密度为361316)(24XS求过程的自相关函数和均方值。3.4离散时间随机过程的功率谱密度（一）离散时间随机过程的功率谱密度mXmR|)(|设X(n)为宽平稳离散时间随机过程，其自相关函数RX(m)满足定义1X(n)的功率谱密度SX()为RX(m)的离散傅立叶变换，即mTjmXXemRS)()(它是周期连续函数，其周期为2q(即Nyquist频率)，即Tq3.4离散时间随机过程的功率谱密度qqdeSmRTjmXqX)(21)(且有在离散时间系统分析中，有时用Z变换更为方便，所以也用广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为RX(m)的Z变换。qqdSRnXEXqX)(21)0(]|)([|23.4离散时间随机过程的功率谱密度定义2X(n)的功率谱密度为的Z变换显然有mmXXzmRzS)()(')('zSX)(mRX)()('XTjXSeSRX(m)则为的逆Z变换，即)('zSXdzzzSjmRmXDX1')(21)(式中D为收敛区中的简单闭合围线。3.4离散时间随机过程的功率谱密度（二）平稳过程的采样定理ccXXSS||,0||),()(若零均值的限带平稳过程X(t)的功率谱密度为在采样周期时，可将X(t)按其振幅采样展开为cfT21NNnccNntntnTXtX)sin()(lim)(此式就是平稳过程的采样定理。3.4离散时间随机过程的功率谱密度（三）功率谱密度的采样定理TnSTSqnqCX,)2(1)(若平稳连续时间实随机过程X(t)，其自相关函数和功率谱密度分别以记；对X(t)采样后，所得离散时间随机过程X(n)=X(nT)，X(n)的自相关函数和功率谱密度分别用表示，则有)()(CCSR和上式就是功率谱密度的采样定理。)()(SmR和)()(mTRmRC3.4离散时间随机过程的功率谱密度（四）例解例3.5设平稳离散时间随机过程X(n)的自相关函数为求X(m)的功率谱密度||)(mXemR)()('XXSzS和解：0101||')()()(mmnnnmmmmmmmmmmmXXezzezezezezmRzS上式等号右边第一个和式在处收敛为第二个和式在处收敛为故我们得到ez||)/1()/(ezezez1||])(1[11ez3.4离散时间随机过程的功率谱密度故我们得到则)1)(()1()(111)(21'ezzezeezezezzSX若T=1时，上式变为ezeeze11或者1cos21)1)(()1()()(222'TeeeeeeeeeeSSTjTjTjTjXX1cos21)(22eeeSX3.5互谱密度（一）互谱密度设X(t),Y(t)为联合平稳随机过程，若分别为的傅立叶变换，则可定义这两个过程的互谱密度为),(),(TXTXYX、)()(tytxTT、)],(),([21lim)(*TXTXETSYXTXY)],(),([21lim)(*TXTXETSXYTYX于是两个随机过程X(t)和Y(t)的互功率为dSQXYXY)(21dSQYXYX)(213.5互谱密度（二）互谱密度与互相关函数的关系对于两个实随机过程X(t),Y(t)有dettRASjXYXY),()(若实过程X(t)、Y(t)联合平稳，则有deSttRAjXYXY)(21),(deRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(3.5互谱密度（三）互谱密度的性质互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率的正的、实的和偶函数。下面我们不加证明地列出互谱密度的若干性质。（1）)()()(*YXYXXYSSS（2）互谱密度的实部Re[SXY()]、Re[SYX()]为的偶函数，其虚部Im[SXY()]、Im[SYX()]为的奇函数。3.5互谱密度（3）若随机过程X(t)与Y(t)正交，则有（4）若随机过程X(t)与Y(t)是两个不相关的，均值分别为mX和mY平稳随机过程，则)(2)()(Y