2010平的微积分第一章课件1.2 数列极限的

第二节数列极限的定义一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质基本要求:1.理解数列极限的定义,以及它的推论.2.会利用定义来证明一些简单的数列极限.3.理解数列极限的性质.一、概念的引入庄子：“一尺之棰,日截其半,万世不竭.”,21,212,213,,21n1、截杖问题“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。2、割圆术：——刘徽R正六边形的面积A1,正十二边形的面积A2,正62n1边形的面积An,A1,A2,A3,,An,圆面积A.二、数列的定义数列定义按照某一法则,对每个自然数n,都有确定的实数xn与之对应，这列有序的数：x1,x2,...,xn,...称为数列(sequence),数列中的每个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项或通项.1)(nnx数列x1,x2,...,xn,...简记为{}nx也可记为例如:1111)1,,,,,,23n1;nxn11()nn2)2,4,8,,2,,n2;nnx12nn,,)1(,,1,1,13)1n;)1(1nnx11((1))nn,,65,56,43,34,21,24)11)1(nnnn;)1(1nnxnn,333,,333,33,3)5,31x.31nnxx说明：1.在几何上，数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数xn=f(n).数列实质上是定义在正整数集上的函数：xn=f(n)，nZ+x三、数列的极限问题:当n无限增大时,xn的变化趋势如何？.1)1(1,1无限接近于时当nxnnn1,0.nnxn当时无限接近于.2,无限增大时当nnxn1,(1).nnnx当时没有确定的变化趋势把n无限增大这个重要的变化过程记为n.：的变化趋势分为三类时当nxn,.)1axn常数无限接近于某个确定的.,)2即趋向无穷大无限增大nx.)3没有确定的变化趋势nxnnnnnnnnnn:{x},nxa,a{x}n{x}a,limxa,{x},{x},limx.简明定义设数列当无限增大时，通项无限趋近于一个确定的数则称为数列当时的极限或收敛于记此时，称为收敛数列若数列的极限不存在，则称数列发散或不存在,1)1(1lim1nnn1lim0,nn12,(1).nnnnxx而数列没有极限问题:“无限接近”意味着什么?如何用精确的数学语言刻划它?0nx1n,1001给定,10011n由;100n只要10,100nx要使,10001给定;1000n只要10,10000nx要使,100001给定;10000n只要10,1000nx要使1,0.nnxn当时无限接近于,0任意给定.1Nn只要0,nx要使成立定义若存在常数a，使对任意的0，总存在正整数N0，当nN时，恒有|xna|，则称常数a是数列当n时的极限(limit)或者称数列收敛于a.1)(nnx1)(nnx)(,limnaxaxnnn或记为:定义N0,,,.limnnnNZnNxaxa如果对使当时恒有则lim.nnx如果数列没有极限，就说数列是发散的，习惯上说不存在1..nnnnxAxxAxA说明：是用来刻划与常数的接近程度，具有任意性和稳定性的双重意义：的任意性刻划了与无限接近；同时又具有相对稳定性，一经取定，它就确定了，这样用有限形式来表示无限接近于的过程2.0.nnnNnxAnNxAxAN用来刻划的增大程度，要，要变化到什么程度，定义中表明了比大的各项都应该满足，是否以为极限，关键是对这样的是否存在3..NNNN一般地，与有关，取得越小，相应地就越大.如果存在，这样的就不唯一x1x2x2Nx1Nx3x几何意义:2aaa.)(,),(,点落在其外个至多只有只有有限个内都落在开区间所有的点时当NaaxNnn推论.),(,),()(1aUxaUaaxnnn只有有限多项邻域的任一对收敛于数列例1.1)1(lim1nnnn证明证axn1)1(1nnnn1,0任给1,nx要使,1n只要,1n即所以,,1N取,时则当Nn,11)1(1nnnn总有.1)1(lim1nnnn,0用定义证明xn=a，就是证明对0，N存在.nlim证明的步骤：(1)对于任意给定的正数,令|xna|;(2)由上式开始分析倒推,推出n();(3)取N=[()],再用N语言顺述结论.例2.lim,)(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,恒成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.注意数列极限的定义未给出求极限的方法.例3323lim.232nnn证明注意:(1)由于N不唯一,不要求最小的N,故可把|xna|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找N.(2)从|xna|找N与解不等式|xna|意义不同.例4.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnnqqax,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn所以,,0例5求证).0(1limaann1limnnn例5).0(1limaann求证证,0任给,11nnax,1na,)1ln(||lnaN取,时则当Nn,1na就有.1limnna,)1ln(||lnan,)1ln(||ln1an四、数列极限的性质定理1若极限存在,则极限是惟一的.nnxlim1.极限的惟一性23ba22abnabax证:.ba且故N1Z+,,2baxn即N2Z+,当nN2时,有2banx当nN1时,有22abnabbxnbax223ab,2baxn即因此收敛数列的极限必惟一则当nN时,},,max{21NNN取故假设不真!xn满足的不等式矛盾.1)数列的有界性2.收敛数列的有界性对数列,若M0,对一切自然数n,恒有|xn|M成立,则称数列有界,否则,称为无界.1)(nnx1)(nnx例如:,1nnxn数列,2nnx数列有界;无界.2)定理2收敛数列必有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnZNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.)(1有界故nnx推论无界数列必定发散.注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件.3.收敛数列的保号性.0,,,0,limnnnxNnZNAAx时当则且若定理3(或A0)(或xn0)3.nnxA定理说明了，当下标充分大后，数列中的项保持极限的符号，故称为收敛数列的保号性1:0(0)lim0(0)nnnnnnxxxxAAA推论如果数列从某项起有或且，则或4.收敛数列的归并性(子数列的收敛性)在数列中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序,这样得到的数列记为,称为数列的子数列.1)(nnx1)(nnx1)(knkx1)(knkx*********************······*********************······定理4若数列收敛,则其任一子数列收敛,且极限相同.定理.limlimlim212axxaxnnnnnn－思考：如何判别极限不存在？方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.思考题：()lim,lim.limnnnnnnnaxyxy：若存在　　不存在　问：（）是否存在？()limlim.limnnnnnnnbxyxy：若与都不存在　问：（）是否存在？()lim,lim.limnnnnnnncxyxy：若存在　　不存在　问：（）是否存在？()limlim.limnnnnnnndxyxy：若与都不存在　问：（）是否存在？五、小结数列研究其变化规律;数列极限定义,几何意义,性质.1.数列极限的“–N”定义2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限