201304自考经管类线性代数试题及详解

孙久厚教授全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及解答[e-mail]-1-全国2013年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及详解（课程代码：04184）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。说明：本卷中，TA表示矩阵A的转置，*A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式，1−A表示方阵A的逆矩阵，)(rA表示矩阵A的秩.选择题部分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑.错涂、多涂或未涂均无分.1．行列式333231232221131211aaaaaaaaa中，22a的代数余子式为A．33322322aaaaB．33311311aaaa−C．33311311aaaaD．32312221aaaa−解：22a的代数余子式为33311311aaaa.选C.2．设BA,均为n阶方阵，=−+))((BABA22BA−的充分必要条件是A.EA=B.OB=C.BA=D.BAAB=解：若=−+))((BABA22BBAABA−+−22BA−=，得BAAB=.若BAAB=，得=−+))((BABA22BBAABA−+−22BA−=.选D.3．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是孙久厚教授全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及解答[e-mail]-2-A．3121,,αααα+B．133221,,αααααα−−−C．212132,,αααα−D．32322,2,αααα+解：向量组321,,ααα线性无关，则3121,,αααα+线性无关.选A.4．4元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+=++=−−03002421321432xxxxxxxxx的基础解系所含解向量的个数为A.1B.2C.3D.4解：系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=103101111120A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→112011200111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000011200111，2)(r=A，基础解系所含解向量的个数为224=−.选B.5．设-2是3阶矩阵A的一个特征值，则2A必有一个特征值为A.-8B.-4C.4D.8解：-2是3阶矩阵A的一个特征值，则2A必有一个特征值为4.选C.非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.二、填空题(本大题共10小题，2每小题2分，共20分)6．行列式3333222111=cbacbacba，则=+++333322221111222ccbaccbaccba_______.解：=+++333322221111222ccbaccbaccba=333222111222cbacbacba62333222111=cbacbacba.7．A是3阶矩阵，若4*=A，且0A，则=A_______.解：EAAA=*，3*AAA=⋅，34AA=，又0A，则2−=A.孙久厚教授全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及解答[e-mail]-3-8.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300220111A，则=AAT_______.解：=AAT⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321021001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1451551111.9．设)521(1−=α，)274(2−=α，则=+−2132αα_______.解：=+−2132αα)1042(−−)62112(−+)162510(−=.10．3元齐次线性方程组⎩⎨⎧==+002321xxx的一个基础解系为_______.解：齐次线性方程组⎩⎨⎧==+002321xxx的一个基础解系为T)012(−=ξ.11．设A为3阶矩阵，2)(r=A，若存在可逆矩阵P，使得BAPP=−1，则=)(rB_______.解：2)(r)(r==AB.12．已知向量组]1121[1−=α，[]0022t=α，]1421[3−−=α的秩为2，则数=t_______.解：),,(321αααA=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=10141202121t⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−+−−→220520440121t⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→000030110121t.=),,(r321ααα2)(r=A，则数3=t.13．设A为3阶矩阵，2是A的一个2重特征值，-1为它的另一个特征值，则=A_______.解：4)1(22321−=−××==λλλA.14.设向量]121[1−=α，[]1232=α，则内积=),(21αα_______.解：内积=),(21αα62T1=αα.孙久厚教授全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及解答[e-mail]-4-15．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=020220001A，则二次型=AxxT_______.解：=AxxT32222142xxxx−+.三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分)16．计算行列式dcba100110011001−−−，其中dcba,,,为常数．解：dcba100110011001−−−dcbdcba100110011000−−−+++=100110011)(−−−+++−=dcbadcba+++=.17．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−010220111X⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=104112，求矩阵X.解：=),(EA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−100010010220001111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→210200100010001111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−→12101001000101211011⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−→12101001000102211001.得⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=104112X⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−12101002211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=72342212.18．设A为3阶矩阵，将A的第1列与第2列互换得到矩阵B，再将B的第2列加到第3列得到矩阵C，求满足关系式CAQ=的矩阵Q.解：BAE=)2,1(，CBE=))1(2,3(，满足CAQ=，则孙久厚教授全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及解答[e-mail]-5-))1(2,3()2,1(EEQ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100001110.19.设向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=30121α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=42312α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=12033α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=94104α，判断4α是否可以由321,,ααα线性表出，若可以，求出其表示式.解：),,,(4321ααααA=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=9143422010310312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−→121130211023501031⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→141400880021101031⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→0000110021101031⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000110010102001.4α可以由321,,ααα线性表出，其表示式为32142αααα++=.20．已知4元线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=−=−=−13241433221xxaxxaxxaxx，(1)确定a的值，使方程组有解；(2)在有解时，求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).解：(1)方程组增广矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=1100131100201100011aaaA⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−→16000031100201100011aaaa.3)(r=A，该方程组解时，得3)r(=A，则61−=a.(2)当61−=a时，得同解方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+−=−=−−=−433221213161xxxxxx，取04=x，得特解孙久厚教授全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及解答[e-mail]-6-T)021651(−−−=η.导出组⎪⎩⎪⎨⎧==−=−43322100xxxxxx，令取14=x，得基础解系T)1111(=ξ.方程组的通解为T)021651(−−−=xT)1111(k+，其中k为任意常数.21．求正交变换Pyx=，将二次型=),(21xxf222121323xxxx+−化为标准形，并指出f是否为正定二次型.解：=),(21xxf222121323xxxx+−，二次型的矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=3113A.3113−−=−λλλAE01)3(2=−−=λ，得4,2=λ.对于2=λ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−1111][AEλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−→0011，单位化特征向量为T1)2121(=α.对于4=λ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−1111][AEλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→0011，单位化特征向量为T2)2121(−=α.记正交变换矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=21212121P，则有Pyx=，使得2221TT42yyf+==APyPy.显然，f为正定二次型.22．求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=120010001A的特征值，并判定A能否与对角矩阵相似(需说明理由).解：120010001−−−−=−λλλλAE0)1(3=−=λ，得3重特征值1=λ.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−020000000][AEλ，特征向量有2个，T1)001(=α，T2)100(=α.矩阵A不能与对角矩阵相似，因3重特征值1=λ对应的特征向量只有2个.孙久厚教授全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及解答[e-mail]-7-四、证明题(本题7分)23．设A为n阶矩阵，k为正整数，且OA=k，证明A的特征值均为0.证：用反证法.设A至少有一个非零特征值，记为0≠λ.xAxλ=，xAxxA22λλ==，xAxxA323λλ==，……，xxAkkλ=.由于特征向量x为非零向量，则0xxA≠=kkλ，得OA≠k，与题设矛盾，则A的特征值均为0.