2018-2019学年宁夏银川一中高一12月阶段性测试数学试题(解析版)

第1页共16页2018-2019学年宁夏银川一中高一12月阶段性测试数学试题一、单选题1．下列几何体是组合体的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A，B，C分别是圆锥、圆柱、球，都为简单几何体；D为圆台去掉一个圆锥，为组合体，故选D.【考点】简单组合体的特征.2．已知集合则中元素的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】求出即可得到结果.【详解】∵∴∴中元素的个数是3个故选：C【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．下列函数中，与函数y=x表示同一个函数的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：函数的定义域为R，而选项A中函数中，选项C中函数中，选项D中的函数，又，故选B.【考点】函数的三要素，相等函数的判定（一般只需判定两者的定义域与对应关系）.第2页共16页4．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是()A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：直观图中等腰直角三角形直角边为1，因此面积为，又直观图与原平面图面积比为，所以平面图面积为【考点】斜二测画法5．函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数的定义域为且在上单调递增,又，所以函数的一个零点所在的区间是.故选B.6．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）xm+1在上单调递减，则等于A．3B．-2C．-2或3D．-3【答案】B【解析】根据幂函数的定义求出m，利用幂函数的性质即可确定m的值．【详解】∵f（x）=（m2﹣m﹣5）xm+1是幂函数，∴m2﹣m﹣5=1，即m2﹣m﹣2=0，第3页共16页解得m=﹣2或m=3．∵幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）xm+1在（0，+∞）上单调递减，∴m+1＜0，即m=﹣2，故选：B．【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，要求熟练掌握幂函数的定义和性质．7．如图是正方体的平面展开图，下列结论成立的是（）A．与平行B．与是异面直线C．与成D．与平行【答案】C【解析】由已知中的正方体平面展开图，画出正方体的直观图，结合正方体的几何特征，逐一判断题目中的四个命题，即可得到答案．【详解】由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如下图所示：由正方体的几何特征可得：A：BM与ED平行，不正确；B：CN与BE是异面直线，不正确，是平行线；C：AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；D：与垂直，错误；故选：C．【点睛】第4页共16页本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中根据已知中的正方体平面展开图，得到正方体的直观图，是解答本题的关键．8．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是()A．bacB．acbC．abcD．bca【答案】A【解析】试题分析：比较大小需要加入中间变量，，，所以bac，故选A．【考点】1、指数值的大小；2、对数值的大小．【易错点晴】本题考查指数和对数值的大小比较，不明确用中间量“1”，“0”进行传递比较致误．9．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α内的射影不可能是()A．两条平行直线B．两条互相垂直的直线C．同一条直线D．一条直线及其外一点【答案】C【解析】以正方体为例，找出满足题意的两条异面直线，和平面α，然后判断选项的正误．【详解】不妨以正方体为例，A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，A错误；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，B错误；如果a、b在α上的射影是同一条直线，那么a、b共面，与条件矛盾，C正确．DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点，D错误．故选：C【点睛】本题考查异面直线的投影及作图方法，用特殊图形解决一般性问题，是一种解题方式，是基础题．10．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为（）第5页共16页A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，∵圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，∴，即，，又圆锥的侧面积公式，∴，解得，即，，则，∴，即圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小为，故选A.11．设x∈R，定义符号函数，则函数=的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数f（x）=|x|sgnx==x，第6页共16页故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故答案为：C。12．已知方程的两根为，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数与的图象相交问题，利用数形结合进行比较即可．【详解】方程的两根为，即与两个图象交点的横坐标为，由图不难发现：，，排除B，Ｃ，Ｄ，下面证明：由图可知：，又∴，又，∴，即故选：A【点睛】第7页共16页本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数的图象的交点问题，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键．二、填空题13．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为、、1，则该三棱锥的外接球的表面积_______________.【答案】6π【解析】解：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、、，则其外接球的的半径就是长宽高分别为1、、的长方体的外接球的半径，体对角线的一半，因此此三棱锥的外接球的表面积是6π14．以下说法正确的有__________.①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．【答案】①【解析】直接利用棱柱的定义，判断选项即可得出．【详解】①当平面与棱柱的底面不平行时，截出的两个几何体不是棱柱，正确；②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；不正确，不满足棱台的定义．③当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台，若不平行，则不是圆台，错误；④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．不正确，不满足棱柱的定义．故答案为：①．【点睛】本题考查棱柱的定义及简单的几何性质，是基础题．15．一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1、2、4，则这个几何体的体积为________.第8页共16页【答案】【解析】三视图复原几何体是一条侧棱垂直底面直角三角形的直角顶点，根据三视图数据，求出体积．【详解】设正视图两直角边长分别为a，c，左视图两直角边长为b，c，则俯视图两直角边长为a，b．∴解得a2b2c2=64，∴abc=8，由于这个几何体为三棱锥，所以其体积V=×abc=．故答案为：【点睛】本题考查三视图求体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．16．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在（0,1）上是减函数，则a的取值范围是________【答案】【解析】利用复合函数的单调性即可得到结果.【详解】∵关于x的函数y=loga（2﹣ax）在（0,1）上是单调递减的函数，而函数t=2﹣ax在（0,1）上是单调递减的函数，∴a＞1且函数t在（0,1）上大于零，故有，第9页共16页解得1＜a≤2，故答案为：．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题17．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AB=2,AA1=3，D点是AB的中点（1）求证:BC1∥平面CA1D．（2）求三棱锥B-A1DC的体积．【答案】（1）见证明；（2）【解析】(1)连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；(2)三棱锥B1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】（1）证明：连接AC1交AC于E点，连接DE∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，故AA1C1C为矩形∴E是AB的中点又∵D点是AB的中点∴DE∥BC1又DE在平面CA1D内∴BC1∥平面CA1D.（2）三棱锥B-A1DC的体积即为三棱锥A1-BDC的体积.由题易得三棱锥A1-BDC的高h=AA1=3又∵AB=BC=AC=2，D为AB的中点∴三角形ABC的面积S=ABCD=第10页共16页∴三棱锥A1-BDC的体积V=Sh=【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.18．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点．（1）求MN与AC所成角，并说明理由．（2）求证：平面AMN∥平面EFDB．【答案】（1）MN与AC的夹角为90°（2）见证明【解析】(1)连接B1D1易得MN∥D1B1，又D1B1∥DB，从而有MN∥DB，故MN与AC的夹角即为DB与AC的夹角；(2)证明AM∥平面EFDB，MN∥平面EFDB，即可证明平面AMN∥平面EFDB．【详解】（1）连接B1D1∵M、N分别是A1B1，A1D1的中点∴MN∥D1B1又∵DD1∥BB1且DD1=BB1∴DBB1D1为平行四边形∴D1B1∥DB第11页共16页∴MN∥DB∴MN与AC的夹角即为DB与AC的夹角又∵ABCD为正方形∴MN与AC的夹角为90°（2）证明：由（1）得MN∥DBMN平面BDEFBD平面BDEF∴MN∥平面BDEF∵在正方形A1B1C1D1中，M，F分别是棱A1B1，D1C1的中点∴MF∥A1D1且MF=A1D1又∵A1D1∥AD且A1D1=AD∴MF∥AD且MF=AD∴四边形ABEN是平行四边形∴AM∥DF又∵AM平面AMN，DF平面BDEF∴AM∥平面BDEF∵AM平面AMN,MN平面AMN，且ANMN=N∴平面AMN∥平面DBEF【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．已知函数(其中a＞0且a≠1)．（1）求函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若，当x∈时，不等式恒成立，求实数m的范围．【答案】（1）奇函数（2）【解析】（1）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），可得函第12页共16页数f（x）是奇函数；（2）设,不等式恒成立即【详解】（1）由条件知＞0，解得－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)；可知函数的定义域关于原点对称．f(－x)＝loga＝--loga＝－f(x)，因此是奇函数．（2任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，因为又﹣1＜x1＜x2＜1，所以，因此有．又，所以，即f（x1）＞f（x2）．所以当时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．设,可知是减函数，则，当时，解得：。【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，求函数的奇偶性的方法和步骤，属于中档题．20．定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．第13页共16页（1）求，的值；（2）证明：函数是偶函数；（3）解不等式【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)∴f(1)=0令x=y=－1，则f(1)=f(－1)+f(－1)∴f(－1)=0(2)令y=－1，则f(－x)=f(x)+f(－1)=f(x)∴f(－x)=f(x)(3)据题意可知，函数图象大致如下：【解析】试题分析：（1）根据，令可求得．（2）根据证明．（3）由可将变形为，由（1）可知，所以等价于．根据函数的单调性可得关于的不等式．试题解析：解：