2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第7课时

第7课时立体几何中的向量方法(一)第七章立体几何第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测1．直线的方向向量和平面的法向量什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？提示：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.直线的方向向量：直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量．平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测温馨提示：一条直线的方向向量有无数个，一个平面的法向量有无数个，且它们是共线向量．第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测2．利用空间向量证明空间中的位置关系设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为u、v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R)；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku(k∈R)；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测3．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝_____(其中φ为异面直线a，b所成的角)．|a·b||a||b|第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝__________．|e·n||e||n|第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(3)求二面角的大小a．如图①，AB，CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________．b．如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝_______________________________．〈AB→，CD→〉cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测4.点到平面的距离的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测1．下列命题中，正确命题的个数为()①若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．A．1B．2C．3D．4D第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由于cos〈m，n〉＝－12，∴〈m，n〉＝120°.∴直线l与α所成的角为30°.A第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测3．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°C解析：cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11×2＝22，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测4．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角αlβ的大小为60°，则∠EPF的大小为___________．60°或120°解析：∠EPF实质就是二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的平面角相等或互补．第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测解析：建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，BC1→＝(－1，0，2)，AE→＝(－1，2，1)，∴cos〈BC1→，AE→〉＝BC1→·AE→|BC1→||AE→|＝3010.5．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为__________．3010第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.利用空间向量证明平行与垂直第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测[证明](1)设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，3a，0)，E(a，3a，2a)．∵F为CD的中点，∴F32a，32a，0.AF→＝32a，32a，0，BE→＝(a，3a，a)，BC→＝(2a，0，－a)．∵AF→＝12(BE→＋BC→)，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)∵AF→＝32a，32a，0，CD→＝(－a，3a，0)，ED→＝(0，0，－2a)，∴AF→·CD→＝0，AF→·ED→＝0，∴AF→⊥CD→，AF→⊥ED→.又CD∩DE＝D，∴AF→⊥平面CDE，即AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(1)利用向量法证明空间的平行或垂直问题，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上．(2)用向量法证线面平行时，还可以使用证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法．第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测1.如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测证明：(1)如图建立空间直角坐标系A­xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．取AB中点为N，连接CN，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，∴DE→＝(－2，4，0)，NC→＝(－2，4，0)，∴DE→＝NC→，∴DE∥NC.又∵NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)B1F→＝(－2，2，－4)，EF→＝(2，－2，－2)，AF→＝(2，2，0)．B1F→·EF→＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，B1F→·AF→＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B1F→⊥EF→，B1F→⊥AF→，即B1F⊥EF，B1F⊥AF.又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．利用向量法求空间距离第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测[解](1)建立如图所示的空间直角坐标系，则各相关点的坐标为：D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z)．∵AEC1F为平行四边形，∴AF→＝EC1→得，(－2，0，z)＝(－2，0，2)，∴z＝2，∴F(0，0，2)，∴BF→＝(－2，－4，2)，∴|BF→|＝26，即BF的长为26.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y，1)．由n1·AE→＝0，n1·AF→＝0，得0×x＋4×y＋1＝0，－2×x＋0×y＋2＝0，即4y＋1＝0，－2x＋2＝0，∴x＝1，y＝－14，第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测则n1＝1，－14，1.又CC1→＝(0，0，3)，设CC1→与n1的夹角为α，则cosα＝CC1→·n1|CC1→||n1|＝33×1＋116＋1＝43333.∴点C到平面AEC1F的距离为d＝|CC1→|cosα＝3×43333＝43311.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测向量法求点到平面的距离的步骤：(1)求平面α的法向量n；(2)在平面α内取一点A，确定向量PA→的坐标；(3)代入公式d＝|n·PA→||n|求解．第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测2.如图所示，在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，求点B到平面CMN的距离．第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测解：取AC的中点O，连接OS、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又∵BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系O­xyz，第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测则B(0，23，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，22)，M(1，3，0)，N(0，3，2)．∴CM→＝(3，3，0)，MN→＝(－1，0，2)，MB→＝(－1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，则CM→·n＝3x＋3y＝0，MN→·n＝－x＋2z＝0，取z＝1，则x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴点B到平面CMN的距离d＝|n·MB→||n|＝423.第七章立体几何栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛