2011中考数学复习课件：第9讲 分式方程及应用1

第9讲分式方程及应用考点一分式方程及解法1．分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程，即分式方程――→去分母转化整式方程．3．解分式方程的步骤①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得根；③验根．4．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．解分式方程时，有可能产生增根(使方程中有的分母为零的根)，因此解分式方程要验根(其方法是代入最简公分母中，使最简公分母为零的是增根，否则不是)．考点二与增根有关的问题1．分式方程的增根必须同时满足两个条件(1)是由分式方程化成的整式方程的根；(2)使最简公分母为零．2．增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值．解答思路为：①将原方程化为整式方程；②确定增根；③将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．考点三列分式方程解应用题1．列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样．不同之处是列出的方程是分式方程．求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根．．，不要缺少了这一步.2．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题．(包括日历中的数字规律)①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是100a＋10b＋c；②日历中前后两日差1，上下两日差7.(2)体积变化问题．(3)打折销售问题．①利润＝售价－成本；②利润率＝利润成本×100%.(4)行程问题．(5)教育储蓄问题．①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利润×期数)；③利息税＝利息×利息税率；④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．(1)(2010·咸宁)分式方程xx－3＝x＋1x－1的解为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝3D．x＝－3(2)(2009中考变式题)若解分式方程mx＋1x－1＝－1时产生增根，则m的值是()A．0B．1C．－1D．±1【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，解得x＝－3.经检验：x＝－3是原方程的根．∴分式方程的解为x＝－3.(2)题使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．∵mx＋1x－1＝－1有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当x＝1时，解得m＝－1.【解答】(1)D(2)C(1)(2010·眉山)解方程：xx＋1＋1＝2x＋1x；(2)(2010·上海)解方程：xx－1－2x－2x－1＝0.【点拨】本组题考查分式方程的解法，一般步骤为：①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得根；③验根．这三步缺一不可．【解答】(1)方程两边同时乘以x(x＋1)，约去分母，得x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)．解得x＝－12.经检验，x＝－12是原方程的根．所以，原方程的解为x＝－12.(2)方程两边同时乘以x(x－1)，约去分母，得x2－(2x－2)(x－1)－x(x－1)＝0解得x＝12或x＝2.经检验，x＝12或x＝2都是原方程的根．所以原方程的解为x＝12或x＝2.(2010·重庆)某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【点拨】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意．【解答】(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)天完成此项工程，由题意，得20(1x＋1x＋30)＝1.整理，得x2－10x－600＝0.解得x1＝30，x2＝－20.经检验，x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解，但x2＝－20不符合题意，舍去．当x＝30时，x＋30＝60.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．(2)合作(20－a3)天(3)由题意，得1×a＋(1＋2.5)(20－a3)≤64.解得a≥36.即甲工程队至少单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．1．方程x－2x－4＝xx－6的解是(C)A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝42．关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，则a的取值范围是a－1.3．解方程：2x－1＝3x＋1.x＝54．解方程：32x－4－xx－2＝12.x＝535．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现在甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品考点训练9分式方程及应用训练时间：60分钟分值：100分考点训练9分式方程及应用训练时间：60分钟分值：100分分式方程及应用训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共32分)1．(2010·重庆)方程3x＋2＝1x＋1的解为()A．x＝45B．x＝－12C．x＝－2D．无解【解析】3x＋2＝1x＋1，3(x＋1)＝x＋2,3x＋3＝x＋2，2x＝－1，x＝－12，经检验x＝－12是原方程的根．【答案】B2．(2009中考变式题)以下是方程1x－1－x2x＝1去分母后的结果，其中正确的是()A．2－1－x＝1B．2－1＋x＝1C．2－1＋x＝2xD．2－1－x＝2x【解析】等号两边同乘以2x，去分母后为2－1＋x＝2x.【答案】C3．(2011中考预测题)已知方程xx－5＝3－ax－5有增根，则a的值为()A．5B．－5C．6D．4【解析】原式去分母后得x＝3(x－5)－a，把增根x＝5代入得a＝－5.【答案】B4．(2009中考变式题)解方程84－x2＝22－x的结果是()A．x＝－2B．x＝2C．x＝4D．无解【解析】84－x2＝22－x，8＝2(2＋x)，8＝4＋2x，x＝2当x＝2时，4－x2＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．【答案】D5．(2010·益阳)货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是()A.25x＝35x－20B.25x－20＝35xC.25x＝35x＋20D.25x＋20＝35x【解析】由题意知小车的速度为(x＋20)千米/时，根据货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同，得25x＝35x＋20.【答案】C6．(2009中考变式题)某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套．在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为()A.160x＋4001＋20%x＝18B.160x＋400－1601＋20%x＝18C.160x＋40020%x＝18D.400x＋400－16020%x＝18【解析】采用新技术后的工作效率为(1＋20%)x，前160套所用时间为160x，后来的(400－160)套，所用时间为400－1601＋20%x，可列方程为160x＋400－1601＋20%x＝18.【答案】B7．(2011中考预测题)用换元法解方程x2－2x＋7x2－2x＝8，若设x2－2x＝y，则原方程化为关于y的整式方程是()A．y2＋8y－7＝0B．y2－8y－7＝0C．y2＋8y＋7＝0D．y2－8y＋7＝0【解析】由题意可得，y＋7y＝8，则y2－8y＋7＝0.【答案】D8．(2011中考预测题)解分式方程2xx＋1－m＋1x2＋x＝x＋1x时产生增根，则m的值是()A．－1或－2B．－1或2C．1或2D．1或－2【解析】方程两边同乘以x(x＋1)得2x2－(m＋1)＝(x＋1)2.∵方程有增根，∴x＝0或－1.当x＝0时，2×02－(m＋1)＝(0＋1)2，∴m＝－2.当x＝－1时，2×(－1)2－(m＋1)＝(－1＋1)2，∴m＝1，故m＝1或－2.【答案】D二、填空题(每小题4分，共28分)9．(2010·山西)方程2x＋1－1x－2＝0的解为________．【解析】2x＋1－1x－2＝0,2(x－2)－(x＋1)＝0，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的根．【答案】x＝510．(2010·宁夏)若分式2x－1与1互为相反数，则x的值是________．【解析】2x－1＋1＝0,2＋(x－1)＝0，∴x＝－1，经检验x＝－1是原方程的根．【答案】－111．(2010·温州)当x＝________时，分式x＋3x－1的值等于2.【解析】x＋3x－1＝2，x＋3＝2(x－1)，x＋3＝2x－2，x＝5，经检验x＝5是原方程的根．【答案】512．(2010·青岛)某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务，求原计划每天铺设管理的长度．如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可得方程____________．【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设120m用的天数＋后来180m新工效所用的天数＝30.【答案】120x＋300－1201＋20%x＝3013．(2010·成都)甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x天，则x的值是________．【解析】由题意得x－2x＋x－4x＝1，解得x＝6.【答案】614．(2010·桂林)已知x＋1x＝3，则代数式x2＋1x2的值为__________．【解析】x2＋1x2＝(x＋1x)2－2＝32－2＝9－2＝7.【答案】715．(2010·绵阳)在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水以最大速度顺流航行2千米所用的时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等，请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为__________．【解析】解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时，则2x＋10＝1.2x－10，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的根，即该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时．【答案】40千米/时三、解答题(共40分)16．(20分)解方程．(1)(2010·无锡)2x＝3x＋3；(2)(2010·遵义)x－3x－2＋1＝32－x；(3)(2010·镇江)1x＝x3x－2；(4)(2010·苏州)x－12x2－x－1x－2＝0.解：(1)2x＝3x＋3，方程两边同乘以x(x＋3)，得2(x＋3)＝3x，整理得2x＋6＝3x，x＝6，经检验x＝6是原方程的解，∴原方程的解是x＝6.(2)x－3x－2＋1＝32－x，方程两边同乘以(x－2)，得(x－3)＋(x－2)＝－3，去括号，得x－3＋x－2＝－3，合并同类项，得2x－5＝－3,2x＝2，∴x＝1，经检验x＝1是原方程的解，∴原方程的解为x＝1.(3)1x＝x3x－2，方程两边同乘以x(3x－2)得3x－2＝x2，即x2－3x＋2＝0，∴(x－2)(x－1)＝0，∴x1＝2，x2＝1，经检验x1＝2，x2＝1都是原方程的解，∴原方程的解为x1＝2，x2＝1.(4)解法一：去分母，得(x－1)2－x(x－1)－