工科概率统计2-1

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.例电脑寿命可用一个连续变量T来描述.例检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个离散变量来描述正品次品,0,1)(X第二章随机变量及其分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布第一节离散型随机变量其分布律一、随机变量(randomvariable)二、离散随机变量及分布律概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布则称X()为上的随机变量r.v.一般用大写字母X,Y,Z,或小写希腊字母,,表示.)(X实数定义一、随机变量(randomvariable)§2.1设是试验E的样本空间,若按一定法则简记r.v.X.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布随机变量是R上的映射,此映射具有如下特点定义域事件域随机性r.v.X的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值概率特性X以一定的概率取某个值概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布引入r.v.后,可用r.v.的等式或不等式表达随机事件,例如)100(X——表示“某天9:00~10:00接到电话次数超过100次”这一事件AAXA,0,1为事件A的示性变量r.v.的函数一般也是r.v.可根据随机事件定义r.v.设A为随机事件，则称概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布在同一个样本空间可以同时定义多个r.v.,例如={儿童的发育情况}X()—身高,Y()—体重,Z()—头围.各r.v.之间可能有一定的关系,也可能没有关系——即相互独立概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布离散型非离散型r.v.分类其中一种重要的类型为连续性r.v.引入r.v.重要意义◇任何随机现象可被r.v.描述◇借助微积分方法将讨论进行到底概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布1、定义:若随机变量X的可能取值是有限个或可列个,则称X为离散型随机变量描述X的概率特性常用概率分布或分布律,2,1,)(kpxXPkkXkxxx21Pkppp21或二、离散随机变量及分布律即§2.2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布2、分布律的性质,2,1,0kpk非负性11kkp归一性X~或kxxx21kppp21概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例1一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0p1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次击中r–1次，第k次击中目标)pppCrkrrk)1(111rkrrkppC)1(11,1,rrk例3帕斯卡分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布注1)1(11rkrkrrkppC利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质xxkk1111222)1(1)1(xxkkk1||x当333)1(2)2)(1(xxkkkk33321)1(1xxCkkk概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布rrkrkrkxxC)1(111归纳地令px1rrrkrkrkpppC1))1(1(1)1(111)1(11rkrkrrkppC概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布(1)0–1分布1,0,)1()(1kppkXPkk3、常见离散r.v.的分布凡试验只有两个结果,常用0–1分布描述。X=xk10Pkp1-p0p1应用场合或概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布AA,10,)(ppAP且每次试验的结果与其他次试验无关——称为这n次试验是相互独立的试验可重复n次每次试验只有两个可能的结果：n重伯努利(Bernoulli)试验概型：伯努利试验(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事件A在n次试验中发生的次数,P(A)=p,则概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布nkppCkXPkPknkknn,,1,0,)1()()(则称X服从参数为n,p的二项分布，记作),(~pnBX0–1分布是n=1的二项分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布二项分布的取值情况设),8(~31BX.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456788,,1,0,)1()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273•由图表可见,当时，32或k分布取得最大值273.0)3()2(88PP此时的称为最可能成功次数kxP•0•1•2•3•4•5•6•7•8概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布设)2.0,20(~BX.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，4k分布取得最大值22.0)4(20P0.22•概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布二项分布中最可能出现次数的定义与推导可取的一切值若XjjXPkXP),()(则称为最可能出现的次数knkppCkXPpknkknk,,1,0,)1()(记1)1()1(1knpkpppkk1)()1)(1(1knpkpppkkpnkpn)1(1)1(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着n的增大，其取值的分布趋于对称当(n+1)p整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例2独立射击5000次,命中率为0.001,解(1)k=[(n+1)p]49955550005000)999.0()001.0()5(CP1756.0=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)(1)1(1)1(0)PXPXPX00500050001(0.001)(0.999)C.9934.0小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.本例启示概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌.跳楼自杀.启示概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布,则对固定的k,2,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn0nnp设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n较大，p较小,而适中,则可以用近似公式np,2,1,0,!)1(kkeppCkknkkn问题如何计算？)2500(XP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布证knnknknnknknnnkknnnppC1!)1()1()1(nnnp记nknnnknnnnknkn)(1!1111!kek,2,1k概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布解令X表示命中次数,则5np令.9933.01)1(5eXP利用Poisson定理再求例2(2)X~B(5000,0.001)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布类似地,从装有a个白球，b个红球的袋中不放回地任取n个球,其中恰有k个白球的概率为pbaaba,当时，knkkbanbaknbkappCCCC)1(对每个n有nbaknbkaCCC/结论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是Poisson分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布例3某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品,则每箱至少应装解设每箱至少应装100+n个,每箱的不合格品个数为X,则X~B(100+n,0.03)由题意9.0)()(0100kPnXPnkn3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少个产品？例5概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布1.0!331eknkk查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.应用Poisson定理9.0!31!3)(31300100ekekkPnkknkknkn概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布在实际计算中,当n20,p0.05时,可用上述公式近似计算;而当n100,np10时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二项分布按Possion公式kn=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布在Poisson定理中，,0!kek1!3!21!!3200eeekekekkkk由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布(3)Poisson分布若,2,1,0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称X服从参数为的Poisson分布.或)(~X)(P记作概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的