工科概率统计4-4

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征数学期望方差“随机变量的数字特征”习题课运算性质协方差常用分布的期望函数的期望函数的期望运算性质运算性质相关系数及性质常用分布的方差切比雪夫不等式科西许瓦兹不等式概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征一、基本内容与结论1、设X为离散r.v.其分布为,2,1,)(kpxXPkk若无穷级数1kkkpx其和为X的数学期望记作E(X),即1)(kkkpxXE绝对收敛,则称概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征2、设连续r.v.X的d.f.为)(xf若广义积分dxxxf)(绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),即dxxxfXE)()(数学期望的本质——加权平均，它是一个数不再是r.v.3、设离散r.v.(X,Y)的概率分布为,2,1,,),(jipyYxXPijjiZ=g(X,Y),若级数概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征1,),(jiijjipyxg绝对收敛,则1,),()(jiijjipyxgZE4.设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为f(x,y),Z=g(X,Y),dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛,则dxdyyxfyxgZE),(),()(若广义积分概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)CXEaCXaEniiiniii11)(当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).若存在数a使P(Xa)=1,则E(X)a；若存在数b使P(Xb)=1,则E(X)b.5、数学期望的性质常数期望性质概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征6、若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称)(XD为X的均方差或标准差.即D(X)=E[X-E(X)]2记为D(X)或Var(X)概念变量X的方差,)()()(YDXDYXDD(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)))())(((2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特别地，若X,Y相互独立，则7、方差的性质概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征)()()(YDXDYXD性质若nXX,,1相互独立，baaan,,,,21则niiiniiiXDabXaD121)(对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)则niiiniiiXDabXaD121)(nXX,,1相互独立，baaan,,,,21若为常数概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)设随机变量X的方差D(X)存在，则对于任意实数0,则8、切贝雪夫(chebyshev)不等式2)()|)((|XDXEXP或2)(1)|)((|XDXEXP当2D(X)无实际意义,概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征2)()|)((|XDXEXP或2)(1)|)((|XDXEXP当2D(X)无实际意义,cov(,)[()][()]XYEXEXYEY称)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为（X,Y）的协方差矩阵9、协方差和相关系数的定义称[()][()]EXEXYEY为X,Y的协方差.记为概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征若D(X)0,D(Y)0,称)()(),cov()()()())(((YDXDYXYDXDYEYXEXE为X,Y的相关系数，记为)()(),cov(YDXDYXXY若,0XY称X,Y不相关.无量纲的量)()()(),cov(YEXEXYEYX设随机变量X的方差D(X)存在，则对于任意实数0,2)()|)((|XDXEXP10、切贝雪夫(chebyshev)不等式概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征方差一维随机变量的期望与例.1每次目标的次数次独立重复射击中命中表示设,10)1(X)(,4.022XEX的数学期望则命中的概率为得解：由题意),4.0,10(~BX4.26.04.010)(,44.010)(XDXE)()()(22XEXDXE4.1844.224.18的密度为设随机变量X)2()(,,010,101,1)(XDxxxxxf则其它61二、类题解析概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征dxxxfXE)()(解：0110)1()1(dxxxdxxx0dxxfxXE)()(22011022)1()1(dxxxdxxx,61)()()(22XEXEXD.61,,1)()3(122xexfXxx的密度为设随机变量)(XE则)(,XD121概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征1221)(xxexf解：,212122)1(21xe,,121的概率密度为正态分布N21)(,1)(xDXE故的概率密度为设随机变量X)4()(,0,00,!)(XExxnexxfxn则0!)(dxnexxxExn解：012!1dxexnxn!)2(nn1!)!1(nnn1n概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征令随机变量上均匀分布在区间设随机变量,]2,1[)5(X)(,0,10,00,1YDXXXY则若若若20,3231)1(dxYP解：01,3131)1(dxYP0)0(YP的分布律为故Y,01013231所以,1)1()(313231YE,11)1()(3223122YE)()()(22YEYEYD98231)(198概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征04),,(~)6(22XyyNX且二次方程设随机变量则无实根的概率为,5.0无实根的充要条件为解：由方程042Xyy0442X,4X即,5.0)4(XP由条件知,2144XP即,04故.44则为常数设随机变量,0,()(,)(,)7(2xDxEX必有对任意常数,c[]222)()(CXECXEA、22)()(XECXEB、D概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征22)()(XECXEC、22)()(XECXED、2)()(cXEcf解：令,)(2)(22cXcEXE得并令其等于求导对,0,c)(,02)(2XEccXE,02)(22cfdcd又其值为取得最小值时故当,)(,)(cfXEc.,)()(2DXEf所以选电梯于每个整视塔顶层观光游客乘电梯从底层到电,)8(.,]60,0(,8.55255候时间的数学期望试求该游客等上服从均匀分布且在钟到达底层侯梯处分点的第假设一游客在早分从底层起行分和分、点的X概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征的概率密度为解：X其它,0600,601)(xxf则表示游客等侯时间以,Y,6055,5605525,55255,2550,5XXXXXXXXY505525255)55()25()5([601)(dxxdxxdxxYE6055])65(dxx分钟）(67.11概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征上的均匀分布服从区间设某种商品的需求量是]30,10[)9(X.,9280,300,,,100,,500,]3010[,量试确定商店的最小进货元望值不少于为使商店所获利润的期元单位仅获利此时每一则从外部调剂供应若供不应求元理一单位亏损每处若供大于求则削价处理元利商店每销售一单位可获中的某一整数，区间而经销商店的进货量为的随机变量的密度为解X:其它,03010,201)(xxf则表示所获利润表示进货量设,,Ld概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征30),(30050010),(100500XddXddXXdXL3010])200300()100600([201)(dddxdxdxdxLE52503505.72dd928052503505.7,2dd使由题意解之得,263220d.21个单位故最小进货量为服从正态种零件的内径设自动生产线加工的某)()10(mmX.,1210),1,(其余为合格品为不合格或大于内径小于分布N概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征:):(.,有如下关系与零件内径元单位已知销售利润销售每件不合格品亏损销售每件合格品获利XT12,51210,2010,1XXXT?,润最大销售一个零件的平均利取何值时问平均内径),1,0(~1),1,(~NXNX则解：零件内径平均利润为)12(5)10()1210(20)(XPXPXPTE)]12(1[5)10()]10()12([20)10(21)12(25概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征则有数为标准正态分布密度函设为正态分布函数其中,)(,)(xx0)10(21)12(25)(TEdd于是02212252)10(2)12(22ee即2)10(2)12(222125ee两边取对数并解之得)(2125ln11mm.,)(2125ln11平均利润最大时当mm概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征有存在时试证当为连续型随机变量设,)0)((,)11(aeEXaX).0()()(aaXeeEXPxdxxfXP)()(证明：aaxeedxxf)(dxxfeeaax)(dxxfeeaxa)(1)(1aXaeEe有对任意连续型随机变量,)12(Y00)()()(dyyYPdyyYPYE则的概率密度为证明：设),(tfY概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征00])([])([dydttfdydttfyy左端tytyty0000)()(ttdydttfdydttf00)()(dtttfdtttfdtttf)()(YE00)()()(dyyYPdyy