二重积分习题练习及解析

1补充轮换对称性结论:若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则(,)dd(,)dd.DDfxyxyfyxxy211证yxyxybxaIDdd)()()()(设的对称性得由区域关于直线xyyxxyxbyaIDdd)()()()(所以,DyxbaIdd)(2)(21baI,]1,0[)(上的正值连续函数为设x)(21dd)()()()(bayxyxybxaD证明：为常数，其中ba,xybaxyO1,0),(yxyxD例习题课二重积分知识要点解题技巧典型例题4其中iiniiDfyxfI),(limd),(10一、二重积分的概念与性质是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义二重积分I表示以D为底,柱体的体积.z=f(x,y)为曲顶,侧面是（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义定义1.平面上有界闭区域D上二元有界函数z=f(x,y)的二重积分2.当连续函数,0),(时yxfz以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶一般情形,知识要点5Dyxfd),(物理意义3.xOy平面上方的曲顶柱体体积减xOy平面下方的曲顶柱体体积.若平面薄片占有平面内有界闭区域D,),,(yx则它的质量M为:它的面密度为连续函数.d),(DyxM6性质1(线性运算性质)为常数,则(重积分与定积分有类似的性质)Dyxgyxfd)],(),([、设DDyxgyxfd),(d),(性质2将区域D分为两个子域Dyxfd),()(21DDD对积分区域的可加性质.1d),(Dyxf2d),(Dyxf,,21DD（二）二重积分的性质7以1为高的性质3(几何应用)若为D的面积注Dd既可看成是以D为底,柱体体积.Dd1Dd又可看成是D的面积.Dyxfd),(特殊地性质4(比较性质)),,(),(yxgyxf设,),(Dyx则Dyxgd),(Dyxfd),(Dyxfd),((保序性)8DMyxfmd),(几何意义以m为高和以M为高的性质5(估值性质),),(Myxfm设σ为D的面积,则,),(,0),(Dyxyxf设则曲顶柱体的体积介于以D为底,两个平顶柱体体积之间.9性质6(二重积分中值定理)),,(Dyxfd),(体体积等于以D为底),(f以几何意义域D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点使得),(f,),(,0),(Dyxyxf设则曲顶柱为高的平顶柱体体积.设f(x,y)在闭区10(1)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.Dyxyxfdd),(若D关于,dd),(21yxyxfD则x轴对称,f(x,y)对y为奇函数,即,0,),(),,(),(Dyxyxfyxff(x,y)对y为偶函数,即,),(),,(),(Dyxyxfyxf则Dyxyxfdd),(其中};0{1yDD（三）对称区域上奇偶函数的积分性质11(2)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.Dyxyxfdd),(若D关于,dd),(21yxyxfD则y轴对称,f(x,y)对x为奇函数,即,0,),(),,(),(Dyxyxfyxff(x,y)对x为偶函数,即,),(),,(),(Dyxyxfyxf则Dyxyxfdd),(其中};0{1xDDD12(3)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.则对称关于直线若闭区域,xyDDDyxxyfyxyxf;dd),(dd),(13)},()(,),({21xyxbxayxD其中函数、)(1x)(2xb)(2xy)(1xyaD在区间[a,b]上连续.二、在直角坐标系中化二重积分为xOy累次积分(1)设f(x,y)在平面有界闭区域D上连续.Dyxfd),(baxxyyxfx)()(21d),(d先对y后对x的二次积分14)},()(,),({21yxydycyxD其中函数、)(1y)(2y在区间[c,d]上连续.(2)设f(x,y)在平面有界闭区域D上连续.Dyxfd),(dcyyxyxfy)()(21d),(d先对x后对y的二次积分.xOyD)(2yxcd)(1yx15Dyxfd),(ddrr极坐标系中的面积元素Drrrrfdd)sin,cos(三、在极坐标系中化二重积分为累次积分)(1r)(2rOADθ(1)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.)}()(,),({21ryxD其中函数.],[)()(21上连续在区间、d)(2)(1;d)sin,cos(rrrrf16D;d)sin,cos(d)(0rrrrfDyxfd),(AO)(r(2)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.)}(0,),({ryxD其中函数.],[)(上连续在区间17)(0π20d)sin,cos(drrrrf极坐标系下区域的面积.ddDrrDoA)(rθ(3)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.)}(0,π20),({ryxDDyxfd),(其中函数.],[)(上连续在区间18再确定交换积分次1.交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.如被积函数为圆环域时,或积分域为),(22yxf),(22yxf),(xyf)(arctanxyf圆域、扇形域、则用极坐标计算;解题技巧193.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函20.d1d13102yyxyxx解例计算积分xOy2xy11交换积分次序.原式=xxyyydd1300y11032d121yyy10331)d(161yy).12(31典型例题1.交换积分次序21计算222.d)232(2ayxyxx解积分域是圆,222ayx故关于x、y轴、故将被积函数分项积分:222d)32(ayxyx0而222d2ayxx222d2ayxy222)d(2122ayxyx极坐标arr03π20dd21.4π4a又222d2ayx,π22a所以原式=.π24π24aa对称,xy例直线2.利用对称性22222cyx0,,)()()()(222zcyxyxybxaz曲面.0,0,0cba且证yxyxybxaVDdd)()()()(yxxyxbyayxybxaDDdd])()()()()()()()([21Dyxbadd)(21xyxyO所围立体的体积等于),(π212bac)(u其中是连续的正值函数,所求立体在xOy面上的投影区域为.:222cyxD有:).(π212bac例证明:23cos2.2:,dd)(22xyxDyxyxD其中计算二重积分解原式=rrrdcosd2cos02π0.π用极坐标.xOyrrddcos22cos202π02π0cos203d)(cos32r2π03dcoscos3162π04dcos3162π2143316对称性积分区域关于x轴对称2例3.坐标系的选择24若函数f(x,y)在矩形区域D:解,1),(d)d,(2yxfyxyxfxyD10,10yx上连续,且求f(x,y).设DyxyxfId)d,(I1),(2yxfxyI两边积分,得DDyxyxyxfdddd),(11I1I1dd10102IyyxxIDyxxyIdd21412II2I.41),(xyyxfxOy11ID例2511计算二重积分D2d)1(221yxDd)1(222yxD极坐标,d|1|22Dyx例将D分成D1与D2两部分.D1其中解yOx122yxd|1|22Dyx由于d)1(221yxD1022π0d)1(drrr8πd)1(222yxD直角坐标1122102d)1(dxyyxx3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分}.10,10),({yxyxD26d)1(222yxD1122102d)1(dxyyxx101132d32xyyyxx102322d])1(3232[xxx102d)32(xx10232d)1(32xxI3231其中10232d)1(xxItxsin2π04dcostt.163π2π2143.318π因此d|1|22Dyx.314π318π8π8πd)1(221yxD2711,d}d,max{||2Dyxyxxy其中}.10,10),({yxyxD选择适当的坐标计算:xyO2xyxy解原式=1D3D2D1d}d,max{||2Dyxyxxy2d}d,max{||2Dyxyxxy3d}d,max{||2Dyxyxxy例2811,d}d,max{||2Dyxyxxy其中}.10,10),({yxyxD选择适当的坐标计算:xyO解原式=1D3D2D1210d)(dxyyxyxxxyxxyx2d)(d21020210d)(dxyxyxx.40112xyxy例29计算,dd|)||(|Dyxyx0,1|||:|xyxD解积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.yxyxdd|)||(|1dd)(2Dyxxyxyxyx1001d)(d2则21D32xyoD1111yx11yx30,)(为连续函数设tf证明Daattatfyxyxfd|)|)((dd)().0(2||,2||aayaxD常数为矩形域：其中xoy证2ax2a2a2aDyxyxfdd)(2222d)(daaaayyxfxtyx22daaxtydd2ax2attfd)(交换积分次序xot2a2a2a2axttfdd)(xttfdd)(0a2a2at2at0a2a累次积分D法一31xttfdd)(xttfdd)(0a2a2at2at0a2a0d))((atattfatattf0d))((aattatfd|)|)((Daattatfyxyxfd|)|)((dd)(:证明0d)||)((atattfatattf0d)||)((32aaaa,)(为连续函数设tf证明Daattatfyxyxfd|)|)((dd)().0(2||,2||aayaxD常数为矩形域：其中法二xoy2a2a2a2aD令,yxuyxv则DD:D,avuaauva