电磁场与电磁波(第四版之第一章矢量分析)

第1章矢量分析电磁场理论本课程的目的电磁场理论是无线通信、移动通信、微波通信的基础后续课程有：微波技术天线技术光纤通信等第1章矢量分析电磁场理论必修课，共32学时，2个学分成绩考核与评定本课为考查课，期末总成绩：•理论考试：80%•平时成绩：20%第1章矢量分析电磁场理论第1章矢量分析矢量代数、常用坐标系(1.1~1.2节)标量场的梯度(1.3节)矢量场的通量散度(1.4节)矢量场的环流旋度(1.5节)亥姆霍兹定理(1.8节)主要内容矢量场标量场确定确定拉普拉斯运算与格林函数(1.7节)无旋场与无散场(1.6节)第1章矢量分析电磁场理论复习：矢量代数知识常用三个坐标系概念：场（矢量场、标量场）散度旋度梯度定律：散度定律斯托克斯定律亥姆霍兹定律本章要求掌握的主要内容数学表达式；数学表达式；物理意义重点重点第1章矢量分析电磁场理论SSSSVVxxyyzzAAeAeAPiQjARke复习：高等数学相关内容高等数学本教材普通物理曲面积分闭合曲面积分体积分积分符号差异矢量表示差异第1章矢量分析电磁场理论矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示A矢量的几何表示矢量可表示为：其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向；说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上的矢量符号即采用印刷体。1.1矢量代数1.1.1标量（Scalar）和矢量（Vector）标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示FEHBDAAeDAAeAAAeA第1章矢量分析电磁场理论xxyyzzAeAeAeAcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos)xyzAAeee矢量用坐标分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第1章矢量分析电磁场理论1.1.2矢量代数运算xxyyzzxxyyzzAeAeAeABeBeBeB()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB矢量的加法和减法说明：1、矢量的加法符合交换律和结合律：2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：BAABBAABB第1章矢量分析电磁场理论cosABxxyyzzABABABABAB矢量的乘法矢量与标量相乘xxyyzzAkAekAekAekAekA标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积dotproduct）()ABBAABCABAC说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律：2、两个矢量的点积为标量ABABAB0AB//ABABAB3、第1章矢量分析电磁场理论sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeABeABAAABBBeABABeABABeABAB矢量的矢积（叉积crossproduct）说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：2、两个矢量的叉积为矢量()ABBAABCABAC3、矢量运算恒等式（见P341附录）()()()()()()ABCBCACABABCBACCABsinABBABA第1章矢量分析电磁场理论三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交坐标系第1章矢量分析电磁场理论1.2.1直角坐标系xyzrexeyez位置矢量面元矢量线元矢量ddddxyzlexeyezdddddxxyzxSelleyzdddddzzxyzSellexy体积元ddddVxyzdddddyyxzySellexz坐标变量,,xyz坐标单位矢量,,xyzeee点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第1章矢量分析电磁场理论1.2.2圆柱坐标系dddddddddddddddzzzzzSellezSellezSelle,,z坐标变量,,zeee坐标单位矢量zreez位置矢量ddddzreeez线元矢量ddddVz体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系第1章矢量分析电磁场理论说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：zzzzAeAeAeABeBeBeB()()()zzzABeABeABeAB()()zzzzzzABeAeAeAeBeBeBABABAB()()zzzzzzzeeeABAAAeABABeABABBBB()zeABAB加减：标积：矢积：第1章矢量分析电磁场理论1.2.3球面坐标系2dddsinddrrrSellerdddsinddrzSellerrdddddrSellerr球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元,,r坐标变量,,reee坐标单位矢量rrer位置矢量dddsindrrererer线元矢量2dsindddVrr体积元面元矢量第1章矢量分析电磁场理论说明：球面坐标系下矢量运算：rrrrAeAeAeABeBeBeB()()()rrrABeABeABeAB()()rrrrrrABeAeAeAeBeBeBABABAB()()()rrrrrrrreeeABAAABBBeABABeABABeABAB加减：标积：矢积：第1章矢量分析电磁场理论1.2.4坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标与圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系zereeecossincossinsincos0xeyesinsinsincoscossinoφxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系φxeyeeeoθrz单位圆柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系θθzeeree第1章矢量分析电磁场理论三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分布。第1章矢量分析电磁场理论1.3标量场的梯度（Gradient）如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：(,,,)uxyzt、(,,,)Fxyzt确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：•标量场和矢量场(,,)uxyz、(,,)Fxyz静态标量场和矢量场可分别表示为：第1章矢量分析电磁场理论1.3.1标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。(,,)uxyzC等值面方程：•常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；•标量场的等值面充满场所在的整个空间；•标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。第1章矢量分析电磁场理论1.3.2方向导数表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。方向导数定义：000()()limlMuMuMullM0Mll()urcoscoscosuuuxyz——的方向余弦。coscoscos、、l方向导数物理意义：00Mul，标量场在处沿方向增加率；u0M00Mul，标量场在处沿方向减小率；u0Mll00Mul，标量场在处沿方向为等值面方向（无改变）u0Ml第1章矢量分析电磁场理论方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大?最大的变化率为多少？梯度第1章矢量分析电磁场理论梯度的定义max(,,)lugraduxyzel式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。le梯度的性质标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影1.3.3标量场的梯度u第1章矢量分析电磁场理论梯度的运算1rzuuuueeerrz11sinruuuueeerrr直角坐标系：()xyxyzzuuueeexgradueeexzzuyy哈密顿算符u球面坐标系：11(())sinreeerrr柱面坐标系：1()rzeeerrz第1章矢量分析电磁场理论0()()()()()CCuCuuvuvuvuvvufufuu梯度运算相关公式式中：为常数；C,uv为坐标变量函数；第1章矢量分析电磁场理论1.4矢量场的通量与散度1.矢量线意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。ddd(,,)(,,)(,,)xyzxyzFxyzFxyzFxyz矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OMFdrrrdr第1章矢量分析电磁场理论矢量场的通量()SFrdS若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：()Fr为矢量沿有向曲面S的通量。1.4.2矢量场的通量（Flux）()Fr问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。若S为闭合曲面()srdAS物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。第1章矢量分析电磁场理论cos()nsssFdSFedSFrdS3)1)面元矢量定义：面积很小的有向曲面。dS：面元面积，为微分量，无限小dSne：面元法线方向，垂直于面元平面。说明：nedS2)面元法向的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对闭合曲面：闭合面外法线方向ne关于矢量场通量的说明第1章矢量分析电磁场理论若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正源；0若，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源；0若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。0通过闭合面S的通量的物理意义：000第1章矢量分析电磁场理论1.4.3、矢量场的散度（Divergence）散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：()FrV0()di