习题课带电粒子在有界磁场中的运动

习题课:带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在有界磁场中的运动知识必备知识点一1.求解带电粒子在有界磁场中做圆周运动的问题时,要按照“画轨迹,找,求半径(利用几何关系)”的基本思路进行,解题过程中注意对称性的应用.2.带电粒子在有界磁场中做圆周运动的解题技巧(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界.(2)在矩形磁场区域内,从同一边界射入的粒子从同一边界射出时,射出时与射入时相比,速度与边界的夹角;在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子必沿径向射出.圆心相切相等垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力FB=qv0B,方向指向圆心,FB为FE=qE,FE大小、方向不变,为“电偏转”和“磁偏转”的比较知识必备知识点二变力恒力(续表)知识必备垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)运动规律匀速圆周运动,r=,T=类平抛运动,vx=v0,vy=,x=v0t,y=运动时间t=,具有等时性动能不变变化学习互动考点一带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动[想一想]带电粒子穿越直线边界匀强磁场的边界时,有何特点?学习互动[要点总结]1.有单平面边界的磁场问题从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同.2.有双平行平面边界的磁场问题带电粒子由边界上P点以如图X3-1所示方向进入磁场.(1)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足r≤d时(如图中的r1),粒子在磁场中做半圆周运动后由进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场.学习互动(2)当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足rd时(如图中的r2),粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场.图X3-1例1如图X3-2所示,直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,质量为m、电荷量为-q(q0)的粒子1在纸面内以速度v1=v0从O点射入磁场,其方向与MN的夹角α=30°;质量为m、电荷量为+q的粒子2在纸面内以速度v2=v0也从O点射入磁场,其方向与MN的夹角β=60°.已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点(图中未画出),不计粒子的重力及粒子间的相互作用.(1)求两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d.(2)求两粒子进入磁场的时间间隔Δt.学习互动图X3-2[答案](1)4𝑚𝑣0𝑞𝐵(2)π𝑚3𝑞𝐵[解析](1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,有qvB=m𝑣2𝑟故d=𝑂𝐴+𝑂𝐵=2r1sin30°+2r2sin60°=4𝑚𝑣0𝑞𝐵.(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1=5π3粒子2做圆周运动的圆心角θ2=4π3粒子做圆周运动的周期T=2π𝑟𝑣=2π𝑚𝑞𝐵粒子1在匀强磁场中运动的时间t1=𝜃12πT粒子2在匀强磁场中运动的时间t2=𝜃22πT所以Δt=t1-t2=π𝑚3𝑞𝐵.学习互动例2如图X3-3所示,在真空中宽为d的区域内有匀强磁场,磁感应强度为B,质量为m、带电荷量为e、速率为v0的电子从边界CD外侧垂直射入磁场,入射方向与CD边夹角为θ,为了使电子能从磁场的另一边界EF射出,v0满足的条件是什么?(不计重力作用)学习互动图X3-3[答案]v0𝐵𝑒𝑑𝑚(1+cos𝜃)[解析]当入射速率很小时,电子在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出,速率越大,轨道半径越大,当轨道与右边界EF相切时,电子恰好不能从磁场的右边界EF射出,如图所示.电子恰好不能射出时,由几何知识可得r+rcosθ=d又ev0B=𝑚𝑣02𝑟,解得v0=𝐵𝑒𝑑𝑚(1+cos𝜃)所以为了使电子能从磁场的另一边界EF射出,电子的速率v0𝐵𝑒𝑑𝑚(1+cos𝜃).学习互动[想一想]带电粒子穿越圆形边界匀强磁场的边界时,有何特点?学习互动带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动考点二[要点总结]1.在圆形匀强磁场区域内,沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出.如图X3-4所示,磁场圆半径为R,粒子轨迹圆半径为r,带电粒子从P点对准磁场圆心O射入,由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点.2.带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆,并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心.学习互动图X3-4(1)当粒子沿图X3-5甲所示轨迹运动时,粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大.(2)由图甲看出,在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下,可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆.(3)如图乙所示,由几何知识很容易证明:当r==R时,相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场,它们离开磁场时的方向却是平行的.学习互动甲乙图X3-4学习互动例3在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图X3-6所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x轴负方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出.(1)请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷;(2)若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B‘,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角,求磁感应强度B'为多大?此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少?图X3-6[答案](1)负电荷𝑣𝐵𝑟(2)33B3π𝑟3𝑣[解析](1)粒子的运动轨迹如图所示,由左手定则可知,该粒子带负电荷.粒子由A点射入,由C点飞出,其速度方向改变了90°角,则粒子轨迹半径R=r又qvB=m𝑣2𝑟则粒子的比荷𝑞𝑚=𝑣𝐵𝑟.(2)设粒子从D点飞出磁场,速度方向改变了60°角,故AD弧所对圆心角为60°,粒子做圆周运动的半径R'=𝑟tan30°=3r,又R'=𝑚𝑣𝑞𝐵',所以B'=33B粒子在磁场中运动所用时间t=16T=16×2π𝑚𝑞𝐵'=3π𝑟3𝑣.学习互动备用习题1.(多选)如图X3­9所示，在匀强磁场中有1和2两个质子在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径r1r2并相切于P点，设T1、T2，v1、v2，a1、a2，t1、t2，分别表示1、2两个质子的周期、线速度、向心加速度以及各自从经过P点算起到第一次通过图中虚线MN所经历的时间，则()A．T1＝T2B．v1＝v2C．a1a2D．t1t2图X3-9备用习题[答案]ACD[解析]对于质子，其qm相同，又T＝2πmqB，在同一匀强磁场中，则T1＝T2，选项A正确；因r＝mvqB，且r1r2，则v1v2，选项B错误；由a＝v2r、T＝2πrv得a＝2πTv，则a1a2，选项C正确；两质子的周期相同，由图知质子1从经过P点算起到第一次通过图中虚线MN所转过的圆心角比质子2小，则t1t2，选项D正确．备用习题2.如图所示，矩形MNPQ区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，有5个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场，在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧．这些粒子的质量、电荷量以及速度大小如下表所示．由表中信息可知，从图中a、b、c处进入的粒子对应表中的编号分别为()A．3、5、4B．4、2、5C．5、3、2D．2、4、5备用习题备用习题[答案]D[解析]据qvB＝mv2R，得R＝mvqB，将5个粒子的电荷量和质量、速度大小分别代入，可得R1＝mv2qB，R2＝2mvqB，R3＝3mvqB，R4＝3mvqB，R5＝2mvqB.令图中一个小格的长度l＝mvqB，则Ra＝2l，Rb＝3l，Rc＝2l.若磁场方向垂直纸面向外，则编号1粒子的运动不满足图中所示，所以磁场方向垂直纸面向里，则从a、b进入磁场的粒子带正电荷，从c进入磁场的粒子带负电荷，则a对应2，c对应5，b对应4，选项D正确．备用习题3.如图X3­11所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场．一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°.若粒子能从AB边穿出磁场，且粒子在磁场中运动的过程中，到AB边有最大距离，则v的大小为()A.3Bqa4mB.3Bqa4mC.3Bqa8mD.3Bqa8m图X3-11备用习题[答案]C[解析]据从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图X3­12所示．由图知：2R＝OB·cos30°OB＝a2又有Bqv＝mv2R得v＝3Bqa8m.图X3-12自我检测1.(带电粒子在磁场中运动轨迹分析)(多选)图X3-7是比荷相同的两粒子从O点垂直进入直线边界匀强磁场区域的运动轨迹.下列说法正确的是()A.a带正电,b带负电B.a的电荷量比b的电荷量小C.a运动的速率比b的小D.a的运动时间比b的短图X3-7[答案]AC[解析]由左手定则可知,正电荷所受的洛伦兹力垂直v向左,负电荷所受的洛伦兹力垂直v向右,选项A正确;由r=𝑚𝑣𝑞𝐵可知,a的半径小,则速率小,选项C正确;运动时间t=𝜃2πT=π𝑚𝑞𝐵,与速度无关,选项D错误;由题意不能确定a、b电荷量的大小关系,B错误.自我检测自我检测图X3-82.(带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动)半径为r的圆形空间内,存在着垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中,并从B点射出.∠AOB=120°,如图X3-8所示,则该带电粒子在磁场中运动的时间为()A.2π𝑟3𝑣0B.23π𝑟3𝑣0C.π𝑟3𝑣0D.3π𝑟3𝑣0[答案]D[解析]由𝐴𝐵所对圆心角θ=60°,可知t=16T=π𝑚3𝑞𝐵.但题中已知条件不够,没有此选项,另想办法找规律表示t.由带电粒子做匀速圆周运动可知,t=𝐴𝐵𝑣0,由几何关系知R=3r,则𝐴𝐵=R·θ=3r×π3=33πr,故t=𝐴𝐵𝑣0=3π𝑟3𝑣0,D正确.自我检测自我检测图X3-93.(带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动)如图X3-9所示,在圆形区域内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,ab是圆的一条直径.一带正电的粒子从a点射入磁场,速度大小为2v,方向与ab成30°角时恰好从b点飞出磁场,粒子在磁场中运动的时间为t.若仅将速度大小改为v,则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)()A.3tB.32tC.12tD.2t[答案]D[解析]设圆形磁场半径为R,粒子以速度2v射入磁场,半径r1=2𝑚𝑣𝑞𝐵,由图可得,r1=2R,运动时间t1=60°360°·2π𝑚𝑞𝐵=π𝑚3𝑞𝐵=t;粒子以速度v射入磁场,半径r2=𝑚𝑣𝑞𝐵=R,圆心角θ=120°,运动时间t2=120°360°·2π𝑚𝑞𝐵=2π𝑚3𝑞𝐵=2t,选项D正确.自我检测4.(带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动)(多选)如图X3-10所示,带有正电荷的A粒子和B粒子同时以同样大小的速度从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点分别以30°和60°(与边界的交角)射入磁场,又恰好不从另一边界飞出,则下列说法中正确的是()A.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径的比值是13B.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径的比值是32+3C.A、B两粒子的𝑚𝑞的比值是13D.A、B两粒子的𝑚𝑞的比值是32+3自我检测图X3-10[答案]BD[解析]由几何关系有RAcos30°+RA=d,RBcos60°+RB=d,解得𝑅𝐴𝑅𝐵=1+cos60°1+cos30°=32+3,选项A错误,选项B正确;因R=𝑚𝑣𝑞𝐵,故𝑚𝑞=𝑅𝐵𝑣∝R,故𝑚𝐴𝑞𝐴𝑚𝐵𝑞𝐵=32+3,选项C错误,选项D正确.自我检测