第4章 概率与概率分布

第4章概率分布1第四章概率与概率分布本章内容•4.1概率分布及其特征•4.2二项分布•4.3正态分布下一页返回目录第4章概率分布24.1概率分布及其特征•4.1.1概率分布及其数量特征•4.1.2概率分布的数量特征•4.1.3利用随机数发生器创建概率分布上一页下一页返回本章首页第4章概率分布34.1.1概率分布及其特征具有多种可能结果的现象称为随机现象，随机现象的每一可能结果即是一个随机事件，换句话说，随机变量的每一可能取值都是一个随机事件。概率是度量随机事件出现或发生的可能性大小的一种尺度。概率分布由随机变量的取值(x)及其相应的P(x)概率构成。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布4按随机变量取值的特点，概率分布可分为离散型随机变量的概率分布和连续型随机变量的概率分布。对于离散型随机变量x，其均值就是随机变量的各个取值与其相应的概率的乘积之和，即：离散型随机变量的方差是随机变量的各个取值与均值E(x)之间离差平方的均值，即：连续性随机变量的均值及方差的计算公式为：)()(iiXPXXEdxxxPXE)()()()()())(())(()(2222iiiiXPXXPXEXXEXEXDdxxPxXD)()()(22上一页下一页返回本节首页第4章概率分布54.1.2概率分布的数量特征频率与概率都是一个居于0和1之间的数。频率是相对于样本而言，而概率则是相对于总体而言。因此可以说概率是频率的理论值，频率是概率的试验值或估计值。频率分布是一种观察分布，而概率分布则是一种理论分布。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布6例在市场调查中，通常用5分来评价消费者对某一品牌的满意程度。现某项目经理想要得到电视机消费者对其品牌的评价程度，当然这需要通过市场调查来完成。假如执行董事知道消费者对其品牌得分的概率分布如表所示，那么，他便可以根据概率分布来确认消费者对其品牌的评价。评价品牌概率非常满意4.10有些满意3.20一般2.35不满意1.25非常满意0.10上一页下一页返回本节首页第4章概率分布7操作步骤如下：①打开“第4章概率与概率分布.XLS”工作簿，选择“概率分布”工作表。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布8②在单元格C9中输入“均值”，在C10单元格中输入“方差”。③选择单元格E2，键入公式“=C2*D2”，用来计算均值，注意这是一个相对引用，按回车键，单元格E2中将出现0.4。④将单元格E2的公式复制到单元格E3:E6中。⑤选定单元格E7，单击自动求和键Σ，Excel自动将E2：E6区域中的数值相加，按回车键，便得到品牌得分概率分布的均值1.95。⑥选择单元格F2，输入公式“=(C2-$E$7)2*D2”，单元格C2提供随机变量X值，单元格E7提供概率分布的均值，按F4使E7绝对引用。按回车键便会得到0.42025。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布9⑦把单元格F2的公式复制到F3:F6区域中。⑧选定单元格F7，双击自动求和按钮，对F2:F6区域中的值求和，得到概率分布的方差。⑨在单元格D9中输入“=E7”，在单元格D10中输入“=F7”，以便观察与比较均值与方差。如果每个步骤操作正确，工作表将显示计算结果如图4.1所示。这样，这个品牌得分的概率分布均值是1.95，方差是1.2475。均值1.95说明全部消费者对该品牌电视机的满意程度为一般。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布104.1.3利用随机数发生器创建概率分布在大多数情况下，概率分布是未知的，需要通过调查进行推断。如果从全部调查对象中随机选取一名被访者，无法根据其评分来描述品牌得分的概率分布。如果选取多名被访者，那么品牌得分的频率分布便会与概率分布相似。这一点可以通过利用Excel的“随机数发生器”分析工具产生概率分布来证明。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布111．“随机数发生器”分析工具“随机数发生器”分析工具可以按照用户选定的分布类型，在工作表的特定区域中生成一系列独立随机数字，通过概率分布来表示其总体特征。其对话框及其内容如图所示：上一页下一页返回本节首页第4章概率分布12对话框中的主要内容包括：变量个数：在此指定输出表中数值列的数目。如不输入数字，Excel出现提示信息：“随机数发生器—输入区域丢失，请输入”。随机数个数：在此输入每一列中数据点的数目。如不输入数字，Excel出现提示信息：“随机数发生器—输入区域丢失，请输入”。分布：可单击右侧的箭头，打开分布列表，选择用于创建随机数的分布类型。其中有均匀分布，正态分布，贝努里分布，泊松分布等。参数：在此输入数值，或用来定义当前选定的分布类型的数值，不同的分布具有不同的参数。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布13随机数基数：在此输入用来构造随机数的可选数值。输出区域：在此输出计算结果。如果输出表将覆盖已有的数据，Excel会自动确定输出区域的大小并显示信息。新工作表：单击此选项，可在当前工作簿中插入新工作表，并由新工作表的A1单元格开始粘贴计算结果。如果需要给新工作表命名，请在右侧的编辑框中键入名称。新工作簿：单击此选项，可创建新工作簿，并在新工作簿的新工作表中粘贴计算结果。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布142．利用随机数发生器创建品牌得分概率分布①打开“第4章概率与概率分布.XLS”工作簿，选择“概率分布”工作表。②在“工具”菜单中选择“数据分析”选项，弹出数据分析对话框。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布15③从“数据分析”对话框的列表中双击“随机数发生器”选项，则打开“随机数发生器”分析工具对话框如图所示。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布16变量个数决定Excel要使用多少列放置随机数据；随机数个数将决定Excel在工作表中使用多少行。④此处只有一个变量“品牌得分”，所以在“变量个数”中输入“1”。要生成1000个随机数据，因而在“随机数个数”中键入1000。⑤单击在“分布”选项旁边的下指箭头，选择“离散”分布选项。⑥用鼠标或键盘在“数值与概率输入区域”中输入概率分布地址C2：D6单元格。⑦单击“输出区域”选项，输入“A1”，它表明输出结果的起点。⑧单击“确定”按钮，对话框消失，Excel会产生1000个不同的随机数据，并把它们放在A列中(A1：A1000)。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布173．建造频数分布以4、3、2、1和0为随机变量，计算频数、频率、均值和方差，并且与概率分布进行比较。将A1：A1000区域中的数据分成三类样本。第一个样本为A1:A10区域中的10个数据；第二个样本为A1:A100中区域中的100个数据；第三个样本为A1:A1000区域中的1000个随机数据。(1)构建第一个样本的频数分布上一页下一页返回本节首页第4章概率分布18①在单元格G1，H1和I1中分别输入“n=10”、“n=100”和“n=1000”。②选择单元格G2，打开Excel的“插入”菜单，选择“函数”选项，Excel会弹出“粘贴函数”对话框。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布19③在“函数分类”列表中选择“统计”，在“函数名”列表中选择条件计数函数(COUNTIF)，单击“确定”按钮，打开COUNTIF函数对话框。④在计数范围（Range）内输入“$A$1:$A$10”，采用绝对引用，便于向下复制。⑤在计数条件（Criteria）输入单元格“$C2”，表明计数条件是随机变量为4，注意这里是列绝对引用，行相对引用。⑥按“确定”按钮，然后确认单元格G2中的值是A1:A10区域中4的次数。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布20⑦将单元格G2的内容复制到单元格G3：G6中，选择单元格G6确认其公式是“=COUNTIF($A$1:$A$10,$C6)”。⑧在单元格G7中双击自动求和按钮计算G2:G6区域中数值之和，其和是10。(2)构建第二个样本和第三个样本的频数分布单元格H2:H6中的公式与单元格G2:G6中的公式相同，只是将单元格“$A$1:$A$10”变成单元格“$A$1:$A$100”。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布21①将单元格G2中的公式复制到H2中。②选择单元格H2，把公式中的“$A$1:$A$10”改成“$A$1:$A$100”。③将单元格H2的内容复制到H3：H6中。④在H7中单击自动求和按钮对H2：H6中的值的求和，如果操作正确，结果是100。⑤将单元格G2中的公式复制到I2中，把公式中的“$A$1:$A$10”改成“$A$1:$A$1000”。⑥将把单元格I2的内容复制到I3：I6中。⑦在I7中双击自动求和按钮对I2：I6中的值的求和，如果操作正确，结果是1000。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布224.构建频率分布为了把这些频数分布同概率分布相比较，需要先把这些频数转换成频率，方法如下：①把单元格C1:C10中的内容复制到C13:C22。②把单元格G1:I1的内容复制到D13:F13中，作为频率表的横行标题。③在G13单元格中输入“概率”。④把单元格D2:D6的内容复制到G14:G18。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布23接着要在单元格D14:F18中创建公式，以计算每个样本中各个随机变量所出现的频率。它的计算方法是用每一个样本的随机变量发生次数除以其次数总和。可以采用列相对引用，行绝对引用的方法来计算，方法如下：①选择单元格D14，输入“=G2/G$7”，公式中的G7采用列相对引用，行绝对引用格式。②按回车键，D14单元格中显示的是第一个样本中出现随机变量“4”的相对次数，即频率。③将D14中的公式复制到D15：F18区域中。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布24单元格D14:F18中所显示的是0到4之间的随机变量在各个样本中所出现的相对次数，每列中的五个相对次数之和为1.0。最后计算每一个样本的均值和方差。方法如下：①在单元格D21中输入公式“=AVERAGE（A1:A10）计算第一个样本的均值；在单元格E21中输入公式“=AVERAGE（A1:A100）”计算第二个样本的均值；在单元格F21输入公式“=AVERAGE（A1:A1000）”中计算第三个样本的均值。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布25②在单元格D22，E22，F22中，分别输入公式“=VAR(A1:A10)”，“=VAR(A1:A100)”和“=VAR(A1:A1000)”以计算三个样本的方差。③最后，在单元格E12中输入“频率分布”。④选择单元格E12:F12，单击工具栏中的“跨列居中”按钮。概率分布与频率分布的计算结果如下图所示。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布26从以上计算与分析可以看出，当随机样本单位个数增加时，样本的频率分布便会越接近于概率分布；同样，其均值和方差也更接近于概率分布的均值和方差。在上面的例中，当样本单位为1000时，它均值和方差将非常接近概率均值和方差，它的频率分布也更加接近于概率分布。上一页下一页返回本节首页第4章概率分布274.2二项分布•4.2.1二项分布的基本内容•4.2.2二项分布函数及其应用上一页下一页返回本章首页第4章概率分布284.2.1二项分布的基本内容二项分布用于计算在n次相同条件的试验中，出现k次“成功”（或“失败”）的概率P(x=k)，其计算公式是：P(x=k)=CP(1-P)(k=0,1,2,…,n)将x值和相应的概率P(x=k)依序排列，即是二项分布数列。依x值由小到大排列，并将相应的P(x=k)值依序累计，即得累计二项概率分布。nkkn-k上一页下一页返回本节首页第4章概率分布29根据累计概率分布，可以计算在n次试验中，出现“成功”的试验结果的次数大于和等于a次且小于等于b次的概率。二项分布的均值及标准差的计算公式为:均值：μ=np标准差：σ=)(pnp1上一页下一页返回本节首页第4章概率分布304.2.2二项分布函数及其应用在Exce