三角函数复习教案_整理

第1页共30页第1课三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边()A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y=x上D．在直线y=－x上．3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα}，tanα=．4．tan(－3)cot5cos8的符号为．5．若cosθtanθ＞0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角【讲练平台】例1已知角的终边上一点P（－3，m），且sinθ=24m，求cosθ与tanθ的值．分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．解由题意知r=3＋m2，则sinθ=mr=m3＋m2．又∵sinθ=24m，∴m3＋m2=24m．∴m=0，m=±5．当m=0时，cosθ=－1，tanθ=0；当m=5时，cosθ=－64，tanθ=－153；当m=－5时，cosθ=－64，tanθ=153．点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．例2已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之．解E=｛θ｜π4＜θ＜5π4}，F=｛θ｜π2＜θ＜π，或3π2＜θ＜2π}，∴E∩F=｛θ｜π2＜θ＜π}．第2页共30页例3设θ是第二象限角，且满足｜sinθ2|=－sinθ2，θ2是哪个象限的角?解∵θ是第二象限角，∴2kπ+π2＜θ＜2kπ+3π2，k∈Z．∴kπ+π4＜θ2＜kπ+3π4，k∈Z．∴θ2是第一象限或第三象限角．①又∵｜sinθ2|=－sinθ2，∴sinθ2＜0.∴θ2是第三、第四象限的角．②由①、②知，θ2是第三象限角．点评已知θ所在的象限，求θ2或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错．【知能集成】注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．【训练反馈】1．已知α是钝角，那么α2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一与第二象限角D．不小于直角的正角2．角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是（）A．35B．45C．－35D．－453．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是()A．(π2，3π4)∪(π，5π4)B．(π4，π2)∪(π，5π4)C．(π2，3π4)∪(5π4，3π2)D．(π4，π2)∪(3π4，π)4．若sinx=－35，cosx=45，则角2x的终边位置在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－2π3终边相同，则α=．6．角α终边在第三象限，则角2α终边在象限．7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为．8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)·sin(sinθ)的符号为什么？9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．第2课同角三角函数的关系及诱导公式第3页共30页【考点指津】掌握同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα，tanαcotα=1，掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题．【知识在线】1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是()A．14B．34C．114D．942．已知sin(π+α)=－35，则()A．cosα=45B．tanα=34C．cosα=－45D．sin(π－α)=353．已tanα=3，4sinα－2cosα5cosα＋3sinα的值为．4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2)=．5．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=59，那么sin2θ等于()A．223B．－223C．23D．－23【讲练平台】例1化简sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．解原式=（-sinα）tanα［-cot(α+π)］(-cosα)tan(π-α)=(-sinα)tanα(-cotα)(-cosα)(-tanα)=sinα·cosαsinαcosα=1．点评将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．例2若sinθcosθ=18，θ∈(π4，π2)，求cosθ－sinθ的值．分析已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．解(cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－14=34．∵θ∈(π4，π2)，∴cosθ＜sinθ．∴cosθ－sinθ=－32．变式1条件同例，求cosθ+sinθ的值．变式2已知cosθ－sinθ=－32，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．第4页共30页点评sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．例3已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．分析因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．解原式=cos2θ+sinθcosθ=cos2θ+sinθcosθcos2θ+sin2θ=1+tanθ1+tan2θ=25．点评1．关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子．2．注意1的作用:1=sin2θ+cos2θ等．【知能集成】1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．2．注意1的作用：如1=sin2θ+cos2θ．3．要注意观察式子特征，关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子．4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题．【训练反馈】1．sin600°的值是（）A．12B．－12C．32D．－322．sin(π4+α)sin（π4－α）的化简结果为（）A．cos2αB．12cos2αC．sin2αD．12sin2α3．已知sinx+cosx=15，x∈［0，π］，则tanx的值是（）A．－34B．－43C．±43D．－34或－434．已知tanα=－13，则12sinαcosα+cos2α=．5．1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos2170°的值为．6．证明1+2sinαcosαcos2α－sin2α=1+tanα1－tanα．7．已知2sinθ+cosθsinθ－3cosθ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．第3课两角和与两角差的三角函数（一）第5页共30页【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．【知识在线】1．cos105°的值为（）A．6＋24B．6－24C．2－64D．－6－242．对于任何α、β∈（0，π2），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是（）A．sin(α+β)＞sinα+sinβB．sin(α+β)＜sinα+sinβC．sin(α+β)=sinα+sinβD．要以α、β的具体值而定3．已知π＜θ＜3π2，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于（）A．a+1B．－a+1C．a2+1D．±a2+14．已知tanα=13，tanβ=13，则cot(α+2β)=．5．已知tanx=12，则cos2x=．【讲练平台】例1已知sinα－sinβ=－13，cosα－cosβ=12，求cos(α－β)的值．分析由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．解∵sinα－sinβ=－13，①cosα－cosβ=12，②①2＋②2，得2－2cos(α－β)=1336．∴cos(α－β)=7259．点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．例2求2cos10°-sin20°cos20°的值．分析式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解∵10°=30°－20°，∴原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°cos20°=3cos30°cos20°=3．点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例3已知：sin(α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)．分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．第6页共30页解∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα．若cos(α+β)≠0，cosα≠0，则3tan(α+β)=tanα．点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．【训练反馈】1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sinα=35，cos(α+β)=－45，则sinβ等于（）A．0B．0或2425C．2425D．0或－24252．sin7°+cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值等于（）A．2+3B．2+32C．2－3D．2－323．△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（）A．π6B．5π6C．π6或5π6D．π3或2π34．若α是锐角，且sin(α－π6)=13，则cosα的值是．5．cosπ7cos2π7cos3π7=．6．已知tanθ=12，tanφ=13，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．7．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)=45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．8．已知sin(α+β)=12，且sin(π+α－β)=13，求tanαtanβ．第4课两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．【知识在线】求下列各式的值第7页共30页1．cos200°cos80°+cos110°cos10°=．2．12（cos15°+3sin15°）=．3．化简1+2cos2θ－cos2θ=．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)=．5．11－tanθ－11＋tanθ=．【讲练平台】例1求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+3tan10°tan50°；(2)（3tan12°-3）csc12°4cos212°-2．(1)解原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+3tan10°tan50°=3．（2）分析式中含有