三角函数所有公式及基本性质[整理]

—1—一、任意角的三角比（一）诱导公式sin)2sin(kcos)2cos(ktgktg)2(ctgkctg)2(sin)sin(cos)cos(tgtg)(ctgctg)(sin)sin(cos)cos(tgtg)(ctgctg)(sin)sin(cos)cos(tgtg)(ctgctg)(sin)2sin(cos)2cos(tgtg)2(ctgctg)2(cos)2sin(sin)2cos(ctgtg)2(tgctg)2(cos)2sin(sin)2cos(ctgtg)2(tgctg)2(cos)23sin(sin)23cos(ctgtg)23(tgctg)23(cos)23sin(sin)23cos(ctgtg)23(tgctg)23(（二）关系结构图（三）三角比符号sinsectgctgcoscsc1++__cosα&secαsinα&cscα++__++__tgα&ctgα—2—二、三角恒等式1.同角三角比的关系倒数关系1cscsin1seccos1ctgtg商数关系cossintgsincosctg平方关系1cossin2222sec1tg22csc1ctg2.两角和与差的三角比两角差的余弦公式sinsincoscos)cos(两角和的余弦公式sinsincoscos)cos(两角差的正弦公式sincoscossin)sin(两角和的正弦公式sincoscossin)sin(两角差的正切公式tgtgtgtgtg1)(两角和的正切公式tgtgtgtgtg1)(形式)sin(A20,sin,cos)sin(cossin222222babbaababa3.二倍角的三角比22222122sin211cos2sincos2coscossin22sintgtgtg4.半角的三角比sincos1cos1sincos1cos122cos12cos2cos12sintg5.万能置换公式21222121cos2122sin2222tgtgtgtgtgtgtg_—3—三、解斜三角形1.三角形的面积CabBcaAbcSsin21sin21sin212.正弦定理)2(sinsinsinRCcBbAa3.余弦定理abcbaCcabacBbcacbACabbacBcacabAbccba2cos2cos2coscos2cos2cos2222222222222222222或三角比补充概念或公式一、有关sinα与cosα，tgα与tgα，|sinα|与|cosα|，|tgα|与|ctgα|大小比较1.sinα与cosα（下左图）当α的终边在第一、第三象限的角平分线上时，sinα=cosα当α的终边在此角平分线的上方，即图中区域①时，sinαcosα当α的终边在此角平分线的下方，即图中区域②时，sinαcosα2.tgα与ctgα（上右图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，tgα=ctgα当α的终边在图中区域①、或③、或⑤、或⑦时（不包括坐标轴），tgαctgα当α的终边在图中区域②、或④、或⑥、或⑧时（不包括坐标轴），tgαctgα3.|sinα|与|cosα|（下左图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|sinα|=|cosα|当α的终边在图中区域①或③时，|sinα||cosα|当α的终边在图中区域②或④时，|sinα||cosα|—4—4.|tgα|与|ctgα|（上右图）当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|tgα|=|ctgα|当α的终边在图中区域①或③时（不包括坐标轴），|tgα||ctgα|当α的终边在图中区域②或④时（不包括坐标轴），|tgα||ctgα|二、三角中常用的手法（sinα+sinβ）与（cosα+cosβ）分别平方后相加，可以产生cos(α-β)（sinα+sinβ）与（cosα+cosβ）分别平方后相加，可以产生sin(α+β)三、1.在非直角ΔABC中，有tgAtgBtgCtgCtgBtgA2.在tgA，tgB，tgC存在的前提下，A+B+C=kπ（k属于整数）是tgAtgBtgCtgCtgBtgA的充要条件。四、增补公式coscos)sin(coscos)sin(2sin12tgtgtgtgctgctg三角比的积化和差公式)]cos()[cos(21sinsin)]cos()[cos(21coscos)]sin()[sin(21sincos)]sin()[sin(21cossin三角比的和差化积公式2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsin—5—三角函数的性质函数xysinxycostgxyctgxy定义域RRZkkxRxx,2|且ZkkxRxx,|且值域1,11,1RR最值122;122minmaxyZkkxyZkkx时当时当12;12minmaxyZkkxyZkkx时当时当无最大值、最小值无最大值、最小值周期性周期是Zkk2最小正周期是2周期是Zkk2最小正周期是2周期是Zkk最小正周期是周期是Zkk最小正周期是奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数对称性对称轴Zkkx2Zkkx对称点Zkk0,Zkk0,2Zkk0,Zkk0,2单调性递增区间Zkkk22,22递减区间Zkkk232,22递增区间Zkkk2,2递减区间Zkkk2,2递增区间Zkkk2,2递减区间Zkkk,图象xysinxycos—6—反三角函数性质函数xyarcsinxyarccosarctgxy定义xysin在2,2x的反函数叫反正弦函数，记作xyarcsin，1,1xxycos在,0x的反函数叫反余弦函数，记作xyarccos，1,1xtgxy在2,2x的反函数叫反正切函数，记作arctgxy，Rx意义①表示一个角的弧度数②这个角的范围是2202,2，或，或③这个角的正弦（或余弦或正切）等于x定义域1,11,1R值域2,2,02,2单调性增函数减函数增函数奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数常用等式xxarcsin)arcsin(xxarccos)arccos(arctgxxarctg)(2arccosarcsinxx图像反三角函数其它常用等式arcctgxxarcctgarctgxxarctgxxxx)()(arccos)arccos(arcsin)arcsin(1）（xarcctgxctgxarctgxtgxxxxxx)()()1()cos(arccos)1()sin(arcsin2）（xyarcsin—7—xctgctgxxxxxxctgxarcctgxtgtgxxxxxxtgxarctgxxxxxxxxxxxxxxxx,,0,,0,,0,)(,2,2,2,2,2,2,)(coscos,,0,,0,,0,)arccos(cossinsin,2,2,2,2,2,2,)arcsin(sin)3(时当时当时当时，当时当时当时当时，当最简三角方程方程解集axsin1a1aZkakxx,arcsin2|1aZkakxxk,arcsin)1(|axcos1a1aZkakxx,arccos2|1aZkakxx,arccos2|atgxZkarctgakxx,|解最简三角方程补充公式)()4()()3()(2)2(2coscos)2()(2)(2sinsin)1(ZkkaxctgactgxZkkaxtgatgxZkkaxkaxaxZkkaxkaxax或或