三角函数的值域与最值

第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习专题研究三角函数的值域与最值第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习专题要点第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为①y＝Asin(ωx＋φ)＋B型；②y＝f(sinx)型3.－a2＋b2≤asinx＋bcosx≤a2＋b2.4.求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性．5.利用导数求三角函数的值域和最值．6.y＝asinx＋bccosx＋d型.(1)转化为Asinx＋Bcosx＝C型．(2)利用直线的斜率求解．7.求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数.第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习题型一y=Asin(ωx＋φ)+型的最值问题例1设函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋m(x∈R)．(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，π2]，是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为[12，72]？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋m＝1＋cos2x＋3sin2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.专题讲解第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习(2)假设存在实数m符合题意．∵x∈[0，π2]，∴π6≤2x＋π6≤7π6，则sin(2x＋π6)∈[－12，1]，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋m＋1∈[m,3＋m]．又∵f(x)∈[12，72]，解得m＝12，∴存在实数m＝12，使函数f(x)的值域恰为[12，72]．第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习探究1化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．思考题1(1)已知△ABC中，AC＝1，∠ABC＝2π3，∠BAC＝x，记f(x)＝AB→·BC→.(1)求函数f(x)的解析式及定义域；(2)设g(x)＝6m·f(x)＋1，x∈(0，π3)，是否存在正实数m，使函数g(x)的值域为(1，54]？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习【解】(1)由正弦定理得：BCsinx＝1sin2π3＝ABsinπ3－x，∴BC＝1sin2π3sinx，AB＝sinπ3－xsin2π3，∴f(x)＝AB→·BC→＝AB·BC·cosπ3＝43sinx·sin(π3－x)·12＝23(32cosx－12sinx)·sinx＝13sin(2x＋π6)－16(0xπ3)．第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习(2)g(x)＝6m·f(x)＋1＝2msin(2x＋π6)－m＋1(0xπ3)．假设存在正实数m符合题意，∵x∈(0，π3)，∴π62x＋π65π6，则sin(2x＋π6)∈(12，1]．∵m0，∴函数g(x)＝2msin(2x＋π6)－m＋1的值域为(1，m＋1]．又函数g(x)的值域为(1，54]，∴m＋1＝54，解得m＝14，∴存在．第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习(3)求f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域．【解析】f(x)＝3sinx＋4cosx＝5(35sinx＋45cosx)＝5sin(x＋φ)其中cos＝35，sinφ＝45，0φπ2∵0≤x≤ππ∴φ≤x＋φ≤π＋φφ≤第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习∴当x＋φ＝π2时，f(x)max＝5当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4.∴f(x)的值域为[－4,5](1)y＝sin2xsinx1－cosx；(2)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx；【解析】(1)∵y＝2sinxcosxsinx1－cosx＝2cosx1－cos2x1－cosx＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋12)2－12.题型二可化为y=f(sinx)型的值域问题第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习于是当且仅当cosx＝1时，ymax＝4，但cosx≠1，∴y4.且ymin＝－12，当且仅当cosx＝－12时取得．故函数值域为[－12，4)．(2)令t＝sinx＋cosx，则有t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝t2－12.∴y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.又t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，∴－2≤t≤2.第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，从而知：f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.则函数的值域为[－1，2＋12]．探究2可化为y＝f(sinx)型三角函数的值域可通过换元法转为其他函数的值域．思考题2(1)求函数y＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x的值域．第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习【解析】原函数可化为：y＝6cos4x－5cos2x＋1cos2x＝(2cos2x－1)(3cos2x－1)cos2xy＝3cos2x－1，(cos2x≠12)∴－1≤y≤2，且y≠12.(2)求f(x)＝cos2x＋asinx的最小值．【解析】f(x)＝1－sin2x＋asinx令t＝sinx，t∈[－1,1]∴y＝－t2＋at＋1＝－(t－a2)2＋1＋a24当a0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a.当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a.第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习题型三数形结合求三角函数的值域例3(1)求函数f(x)＝2－sinx2＋cosx的值域．(2)已知f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，求f(x)的值域．【解析】(1)函数f(x)＝2－sinx2＋cosx，可看作点(2,2)(－cosx，sinx)两点连线的斜率．点(－cosx，sinx)的轨迹为x2＋y2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x2＋y2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k.∴切线方程为y－2＝k(x－2)即kx－y－2k＋2＝0第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习∴∴切线方程为y－2＝k(x－2)即kx－y－2k＋2＝0∴满足|2－2k|1＋k2＝1解之得k＝4±73∴函数f(x)的值域为[4－73，4＋73](2)f(x)＝sinx（sinx≤cosx）cosx（sinxcosx）作出图象由图象知，－1≤y≤22第四章·专题研究考题讲解考题训练高三数学（人教版）高考调研·新课标高考总复习探究3借助一些代数式的几何意义或三角函数的图象可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．