力学的变分原理

力学的变分原理人们为了追求自然规律的统一、和谐，按照科学的审美观点，总是力图用尽可能少的原理（公理）去概况尽可能多的规律。力学原理是指不需要经过证明而在实践基础上靠归纳得到的力学的最基本、最普遍的规律。原理的正确性和适用范围是由通过它导出的定理、方程及其解与实践的比较来证实的。力学原理是构成力学理论体系的基础与核心。比如，牛顿提出的力学三大定律，就是力学的基本原理，由这些基本原理出发，经过严格的逻辑推理和数学演绎，可以获得经典力学的整个理论框架。力学原理可以分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可分为微分形式和积分形式。不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理（如达朗贝尔原理）。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理（如机械能守恒原理）。而变分原理则不同。它提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别开来，从而确定系统的真实运动。如果准则是对某一瞬时状态而言的，则该原理称为微分变分原理（如虚位移原理，它提供了区别非自由质点系的真实平衡位置和约束所允许的邻近的可能平衡位置的准则。动力学普遍方程也是微分变分原理）。如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原理称为积分变分原理（哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理）哈密顿原理是分析力学的基本原理。它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来。也就是说，由它出发，也可得到经典力学的整个框架。变分原理的思想，不仅在力学中，而且在物理学科的其他领域中，都具有重要的意义和应用价值。力学的变分原理是变分法在力学中的应用。先介绍泛函和变分法的基本知识。变分法简介1.泛函的概念（1）函数的概念设和是两个变量，是一个给定的数集。如果对中的每一个数，变量按确定关系总有一个确定的数值与之对应，则称是的函数，记作，称为自变量，称为因变量。对于多元函数，记作。xyDDxyyx)(xfyxy),,,(21nxxxfy（2）泛函的概念xyDDx)(xFyxy给定一个由任何对象组成的集合，这里所说的任何对象可以是数、数组、几何图形，也可以是函数或某系统的运动状态等。设集合中的元素用表示，如果对于集合中的每一个元素对应一个数，则称是的泛函，记作。有时泛函可以看做函数，函数也可以看做泛函。函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示的是函数与数的一一对应的关系。函数概念可作为泛函概念的特殊情况。2.变分法简介（1）变分法的研究对象222():2,()()1',ABABvyxvgydxdyydsvdxdtdtdt最速落径问题铅直平面内在所有联结二个定点和的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自点沿它无摩擦地下滑时，以最短时间到达点。解：这是泛函极值问题。速度与坐标的关系而变分法是研究求泛函的极值的方法。凡有关求泛函极值的问题都称作变分问题。oxyAB2222()()1'1'2()()BBAAxxxxdxdydsvdtdtydxdtyTdtdxgytyfxyfx最速落径问题质点自沿曲线自由滑下到点所需的时间为上式中，时间是用定积分（函数的集合）来表示的，这种关系即泛函，其数值取决于式中未知函数和。显然求此泛函的极小值就是求()tyfx所用的最小时间，也就是求出函数中的哪个函数表示的曲线是最速降线。如何求泛函的极值？先介绍变分的概念。oxyAB（2）变分的概念变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。我们这里主要介绍等时变分。(),Dqqttqtdtqdq设集合中的元素是表示某一力学系统运动的函数其中为自变量，为力学系统的广义坐标，此函数关系如图中曲线所示。当自变量有微小增量时，对应的函数的微小增量的线性主部称为函数的微分，记为q=q(t)+εη(t)t+dtotdqpdt,pδqqtq=q(t)'()(1)dqqtdt或:dtdqtq)('如果自变量t保持不变，而函数q=q(t)本身形式发生微小变化，则得另一条曲线，如图中虚线所示，显然这种曲线有无数条。令式中是一个参数，为无穷小量。如果，即得函数；如果取其他值，即得一些与非常相近的函数。因此上式表示的是一族依赖于参数的函数，相应的是一族非常接近的曲线。式中，是t的连续可微函数。在瞬时t，由函数本身形式的微小变化而得的微小增量的主部称为函数的变分：由于是在瞬时t，不考虑时间t的变化，这种变分称为等时变分。图中的和表示了函数的变分与微分的区别。()(,)()()(2)qtqtqtt)(tqq=q(t)+εη(t)t+dtotdqpdt,pδqqtq=q(t)()qt0()qt()qt()qt()(3)qqqtqdq变分与微分的区别变分：自变量不变，仅由于函数本身形式的微小改变而得到的函数的改变；微分：由于自变量的微增量而引起的函数的微增量。q=q(t)+εη(t)t+dtotdqpdt,pδqqtq=q(t)变分的运算法则：由于函数取等时变分时，自变量t保持不变，变分运算与时间无关，则(a)任一连续函数q=q(t)的变分与微分可以交换：即(b)在积分的上、下限不变的条件下，函数对自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自变量的积分。总之，变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分的变分。)()(qdtddtdq2121ttttqdtqdt（3）变分法211122=(,,)(4)(,)(,)(),()(,)=(,)()()2ttJJFqqtdtAtqBtqqqtJABqtqtqtqtqqt设泛函为定积分现欲求通过固定两点和的一条曲线，如图中实线所示，这条曲线使泛函具有极值。为了表示通过两固定点的与非常接近的一族函数，我们按式（2）将这族函数表示为依赖于参数的函数；当0时，,就是欲求的函数。对式（）积分，因可为不同的值，因此泛21()(,),(,),ttJJFqtqttdt函也是的函数，这样，泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。A(k+1)维空间BM(q,t)jδq,M(q+δq,t)jjj=0=0=0=0=0JJJ由函数的极值条件即可得说明，泛函的极值条件是泛函的变分等于零。212121=0(t):()=0(,),(,),=0==()0ttttttJJqJJFq,q,tdtJJFqtqttdtFFFqqqqFFJqqdtqqF那么，要使泛函取极值，或者说使，函数应该满足什么条件呢？泛函的普遍形式为，即可表示为又故，(5)，按照运算规则，变分的导数等于导数的变分，上式括号中的第二项为=Fdqdtqdtqqdt，用分部积分公式2221111221(),60665()0,()077ttttttttttFFdFqdtqqdtqqdtqABqqFdFJqdtqqdtqFdFqdtqJ（）因两端点、固定，所以因此，式（）右边第一项等于零，把式（）代入（），得由于的任意性，上式成立的条件是（）式（）就是使泛函取极值时函()()(),:qtqtqtFtFF-qq数应满足的条件。它是关于函数的二阶微分方程，称为欧拉微分方程，解之便得欲求的函数。如果不显含自变量则欧拉方程有初积分常数2122222211'.()2,.'1'1''2'21'''22(1')2(1')(1')'yFgyfFxF-y'CyyyygyygyyyygygyygyyyyCyctgy例：求最速落径方程已知解：因不显含则有即：常数常数常数引入参数，使112(1cos2)21CCctg旋轮线方程程为所以最速落径的参数方而，)2cos1(2CyC)2sin2(2Cx:C)2sin2(2Cd)2cos1(Cdxxd)2cos1(CdsinC2ctgdcossin2Cctgd2sinC'ydydx)2cos1(2Cyctg'y121211121111哈密顿Hamilton原理提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。212112()()=0,,,ttttNJLq,q,tdtJLq,q,tdtqqq将前面定义的泛函积分J中的变量F更换为拉格朗日函数L，便得到泛函：以及泛函极值条件：下面具体说明之。先介绍增广位形空间的概念。设一完整系有N个自由度，其广义坐标为,由这些坐标所确定的空间称为N维位形空间。这个空间中的一个点表示系统在某一时刻的位置，这一点包含N个不同值的广义坐标。为了形象而简洁+地表示系统的运动，设想由N个广义坐标和时间t组成N1维空间，这样，增广位形空间的一个点就表示了系统在任一瞬时的位置。(,)(,),kAkBkkkAqtBqtAMBAMBtqMqtMq设系统在起始和终止的时间和位置分别用和两个点表示，系统的真实运动用图中的实线表示，此曲线称为系统的真实路径。在相同的始末条件下，系统为约束所允许的与真实运动非常邻近的任一可能运动用虚线表示，此曲线称为系统的可能路径。在任一瞬时，可能路径对真实路径的偏离用等时变分表示，真实路径的点坐标为(),而可能路径对应的点的坐标为(,()(++)kkkkkkkqtLLq,q,tLqq,qq,tL)，则真实运动和可能运动的拉氏函数分别为和函数的等时变分则为A(k+1)维空间BM(q,t)jδq,M(q+δq,t)jjj22211121221111111()()[()()]()NkkkkkNtttkktttkkkNtkktkkkktNNtkktkkkkktLLLLLqqqqLLLdtLdtqqdtqqdLdLLqqdtdtqdtqqLdLLqqdtqdtqq泛函变分为由于始末两点122211100=()kkttNttkttkkkqqdLLLdtqdtdtqq固定，因此变分，，所以上式右边第一项为零，则上式变为2121=0=08=0kkkttttqdLLdtqqLdtSLdtS根据泛函极值条件，此式应为零。由于各是相互独立的，故只有：这恰是真实运动的拉格朗日方程。因此保守系统的运动规律可由（）得出。这就是哈密顿原理。令，称为哈密顿作用量。式（8）可简写为哈密顿原理叙述为：在完整的保守系统中，具有相同时间间隔和始末位置的一切可能运动与真实运动相比较，对于真实运动，哈密顿作用量具有极值。上式仅仅适用于保守系统，将L=T-V代入该式则得：对于非保守系统：式中还应包括作用于体系上的非保守力(包括阻尼力及任一外荷)所作的功，即：(为由非保守力决定的广义力)0)()(212121ttttttdtVTdtVTLdtjrjncqQW1''jQ(1-4)式中：T——体系的总动能；V——体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势能；Wnc——作用于体系上的非保守力(包括阻尼力及任一外荷)所作的功；——在指定时间区间内所取的变分0)(2121dtWdtVTttnctt非保守系统的哈密顿原理的数学表达式为：应用该原理可以直接导出任何给定体系的运动方程。该方法与虚功方法的(不同)区别应用哈密顿原理推导体系的运动方程，不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能的变分项所代替。优点：它只与纯粹的标量——能量有关虚功法中：功本身是标量，但计算功的力和位移都是矢量。Hamilton原理在静力学中的应用应用于静力学中时，式(1-4)中的动