2015-2016学年高中数学 2.3.1圆的标准方程课件 新人教B版必修2

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·必修2平面解析几何初步第二章2.3.1圆的标准方程第二章2.3圆的方程课堂典例讲练2易错疑难辨析3思想方法技巧4课时作业5课前自主预习1课前自主预习有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m．当水面下降1m后，水面宽多少米？1.平面内____________________的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．2．确定圆的几何要素：(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的________上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的________．(2)圆心确定圆的________，半径确定圆的________，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．到定点距离等于定长中垂线外心位置大小3．圆心为(a，b)半径为r(r0)的圆的方程为：___________________，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为x2＋y2＝r2.4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．P在圆外⇔_____________________，P在圆上⇔_____________________，P在圆内⇔_____________________.(x－a)2＋(y－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2r21.方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．点(a，b)C．以(－a，－b)为圆心的圆D．点(－a，－b)[答案]D[解析]由(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，得x＋a＝0y＋b＝0，∴x＝－ay＝－b.故选D.2．圆x2＋y2＝1上的点到点(3,4)的距离的最小值是()A．1B．4C．5D．6[答案]B[解析]圆心(0,0)到点(3,4)的距离为5，则圆x2＋y2＝1上的点到点(3,4)的距离的最小值是5－1＝4.3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程是()A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25B．(x＋5)2＋(y－4)2＝25C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16D．(x＋5)2＋(y－4)2＝16[答案]B[解析]∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝25.4．(2014·陕西理，12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．[答案]x2＋(y－1)2＝1[解析]两圆关于直线对y＝x对称，半径相等．圆C的圆心为(0,1)，半径为1，其标准方程为x2＋(y－1)2＝1.5．圆心C在直线2x－y－7＝0上且与y轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C的方程为______________．[答案](x－2)2＋(y＋3)2＝5.[解析]由圆的几何性质，得圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.6．圆C与直线3x＋4y－14＝0相切于点(2,2)，其圆心在直线x＋y－11＝0上，求圆C的方程．[解析]设与3x＋4y－14＝0垂直的直线方程为4x－3y＋m＝0，又∵过点(2,2)，∴m＝－2.由4x－3y－2＝0x＋y－11＝0，得x＝5y＝6.∴圆的半径r＝5－22＋6－22＝5，∴圆C的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝25.课堂典例讲练写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x2＋y2＝2；(2)(x－3)2＋y2＝4；(3)x2＋(y－1)2＝9；(4)(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.已知圆的标准方程，解决与圆心、半径有关的问题[解析](1)圆心(0,0)，半径为2.(2)圆心(3,0)，半径为2.(3)圆心(0,1)，半径为3.(4)圆心(－1，－2)，半径为22.已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：(1)圆心在x轴上；(2)圆与y轴相切；(3)圆过原点且与y轴相切；(4)圆与两坐标轴均相切．[解析](1)b＝0.(2)r＝|a|(a≠0)．(3)r＝|a|(a≠0，b＝0)．(4)|a|＝|b|＝r(a≠0，b≠0).求圆的标准方程过两点P(2,2)、Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－3)2＝2B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2C．(x－3)2＋(y－3)2＝2D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2[解析]解法一：点P(2,2)不在选项B、C、D中的圆上，排除B、C、D，故选A．解法二：设圆心坐标为(a，a)，半径为R，由题意得(a－2)2＋(a－2)2＝(a－4)2＋(a－2)2，解得a＝3.∴R2＝(3－2)2＋(3－2)2＝2，故选A．[答案]A求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．[解析]解法一：设圆心为(a，b)∴a－102＋b－52＝100①a＋42＋b－72＝100②①－②整理得7a－b－15＝0，即b＝7a－15，③将③代入①得a2－6a＋8＝0.∴a＝2或a＝4，则b＝－1或b＝13.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100.解法二：A、B的垂直平分线方程为y－6＝－10＋45－7(x－3)即y＝7x－15.设圆心为(a，b)，由于圆心在AB的垂直平分线上，∴b＝7a－15，①又∵(a－10)2＋(b－5)2＝100，②将①代入②可得a＝2或a＝4.(以下同解法一)已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6,9)、Q(5,3)是在圆上？圆外？圆内？[分析](1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半径．(2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．点与圆的位置关系[解析]由已知条件可得圆心坐标为M(5,6)，半径为r＝12|P1P2|＝10，则由圆的标准方程得以P1P2为直径的圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10，易判断点M在圆上，点Q在圆内．已知M(2,0)、N(10,0)、P(11,3)、Q(6,1)四点，试问它们共圆吗？[解析]设M、N、P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴2－a2＋0－b2＝r210－a2＋0－b2＝r211－a2＋3－b2＝r2，解得a＝6b＝3r＝5.∴过点M、N、P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25，将Q点坐标(6,1)代入得(6－6)2＋(1－3)2＝425，∴Q点不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，故M、N、Q、P四点不共圆.如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少米？圆的方程的实际应用[解析]以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)，设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.(1)将点A的坐标(6，－2)代入方程(1)，解得r＝10，∴圆的方程x2＋(y＋10)2＝100.(2)当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x00)，如图所示，将A′的坐标(x0，－3)代入方程(2)，求得x0＝51.所以，水面下降1m后，水面宽为2x0＝251≈14.28m.[点评]求圆的方程有两类方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①设出方程的标准形式；②利用条件列出关于a、b、r的方程组；③解出a、b、r.有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍．已知A、B两地距离为10km，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时“点P”所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点？[解析]以A、B所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系，则A(－5,0)、B(5,0)，设P(x，y)到A、B的运费分别为3a，a(元/公里)，当由P地到A、B两地购物费用相等时有，价格＋A地运费＝价格＋B地运费，即有：3ax＋52＋y2＝ax－52＋y2，化简、整理得x＋2542＋y2＝1542.所以(1)当P点在以－254，0为圆心，154为半径的圆上时，居民到A、B两地购物费用相等．(2)当P点在上述圆内时，x＋2542＋y21542，[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋y2]＝8x＋2542＋y2＋25－25420.所以3x＋52＋y2x－52＋y2，故此时到A地购物最合算．(3)当P点在上述圆外时，同理可知，此时到B地购物最合算．易错疑难辨析点P(m,5)与圆O：x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定[错解]D[辨析]误选D的原因是认为点P的横坐标大小不确定，故点P与圆O：x2＋y2＝24的位置就不确定．[正解]B∵|OP|2＝m2＋2524＝r2，∴点P在圆外．思想方法技巧待定系数法求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．[解析]设所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意得2－a2＋2－b2＝r25－a2＋3－b2＝r23－a2＋－1－b2＝r2，解得a＝4b＝1r2＝5.故△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.