2015-2016学年高中数学 2.4.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1

2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程课程目标学习脉络1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.会求简单的抛物线方程.1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.思考1抛物线的定义中规定直线l不经过点F,若直线l经过点F,那么动点的轨迹是什么图形?提示:动点的轨迹是过点F与直线l垂直的一条直线.2.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p0)p2,0x=-p2y2=-2px(p0)-p2,0x=p2x2=2py(p0)0,p2y=-p2x2=-2py(p0)0,-p2y=p2思考2如何确定抛物线的焦点位置和开口方向?提示:一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上,焦点确定,开口方向也随之确定.焦点的非零坐标都是一次项系数的14.探究一由抛物线方程求焦点坐标、准线方程根据抛物线方程求它的焦点坐标和准线方程时,首先要看抛物线方程是否为标准形式,如果不是,要化为标准形式;然后判断抛物线的对称轴和开口方向,再利用p的几何意义,求出焦点坐标和准线方程.【典型例题1】已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程.(1)y2=-4x;(2)y=4x2;(3)x2+4y=0;(4)y2=ax(a≠0)思路分析:先将抛物线的方程化为标准形式,确定其开口方向,求出参数p的值,然后再求得焦点坐标和准线方程.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四解:(1)y2=-4x开口向左,2p=4,p=2,故焦点坐标为(-1,0),准线方程为x=1.(2)将y=4x2变形为x2=14y,可知抛物线开口向上,2p=14,p=18,故焦点坐标为0,116,准线方程为y=-116.(3)将x2+4y=0变形为x2=-4y,可知抛物线开口向下,2p=4,p=2,故焦点坐标为(0,-1),准线方程为y=1.(4)当a0时,抛物线开口向右,2p=a,p=𝑎2,故焦点坐标为𝑎4,0,准线方程为x=-𝑎4.当a0时,抛物线开口向左,2p=-a,p=-𝑎2,故焦点坐标为𝑎4,0,准线方程为x=-𝑎4.探究一探究二探究三探究四探究二求抛物线方程1.抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据题目中的条件求出方程中参数p的值,从而得到抛物线的标准方程.2.当抛物线的焦点位置不确定,则分情况讨论,另外,焦点在x轴上的抛物线方程可统一设为y2=ax(a≠0).焦点在y轴上的抛物线可统一设为x2=ay(a≠0).【典型例题2】试求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上;(3)焦点到准线的距离为52.探究一探究二探究三探究四解:(1)∵点(-3,2)在第二象限,∴抛物线的标准方程可设为y2=-2px(p0)或x2=2py(p0).把点(-3,2)的坐标分别代入y2=-2px(p0)和x2=2py(p0),得4=-2p×(-3)或9=2p·2,即2p=43或2p=92.∴所求抛物线的标准方程为y2=-43x或x2=92y.(2)令x=0,得y=-2;令y=0,得x=4.故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时,𝑝2=4,即2p=16,此时抛物线方程为y2=16x.探究一探究二探究三探究四当焦点为(0,-2)时,𝑝2=2,即2p=8,此时抛物线方程为x2=-8y.故所求的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.(3)由焦点到准线的距离为52,可知p=52,则2p=5.故所求的抛物线方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.探究一探究二探究三探究四探究三抛物线定义的应用求动点的轨迹方程时,关键是分析出条件对动点的约束,并用含动点的等量关系将其描述,然后根据这些等量关系的特征选择合理的方法求轨迹方程.常用的方法有:直接法和定义法.【典型例题3】已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1,且动圆P和圆A外切并与直线l相切,求动圆的圆心P的轨迹方程.探究一探究二探究三探究四解:如图设动圆P的半径为r,作PK垂直于直线x=1,垂足为K,PQ垂直于直线x=2,垂足为Q,则|KQ|=1,所以|PQ|=r+1.又|AP|=r+1,所以|AP|=|PQ|,故点P到圆心A(-2,0)的距离和到定直线x=2的距离相等,所以点P的轨迹为抛物线,A(-2,0)为焦点,直线x=2为准线.所以𝑝2=2,所以p=4.所以点P的轨迹方程为y2=-8x.探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:没有理解方程中p值的几何意义而导致求焦点和准线错误【典型例题4】从抛物线y2=8x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PF|=5,F为抛物线的焦点,则△MPF的面积为.错解:∵抛物线为y2=8x,∴p=8.∴焦点为F(4,0),准线方程为x=-4.探究一探究二探究三探究四设P(x0,y0),由抛物线定义可得|PF|=|PM|=x0+4=5,∴x0=1.把x0=1代入y2=8x得,y=±22.∴S△MPF的面积为S=12×5×|y0|=52.错因分析:由y2=8x求焦点准线时,错误地把2p=8,当作p=8求准线.正解:∵抛物线为y2=8x,∴2p=8,∴p=4.∴准线方程为x=-2.设P(x0,y0),由抛物线定义得|PF|=|PM|=x0+2=5,∴x0=3,代入y2=8x得y0=±26.∴S△PMF=12×26×5=56.1.抛物线x2-16y=0的准线方程为()A.x=-4B.y=4C.y=-8D.y=-4解析:把x2-16y=0化为标准方程x2=16y.易知抛物线焦点在y轴正半轴上,2p=16,p=8.故准线方程为y=-4.答案:D123452.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x解析:由已知可得抛物线开口向右,设方程为y2=2px(p0),则-𝑝2=-2,即p=4,故抛物线方程为y2=8x.答案:B123453.点P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以P为圆心,以|PF|为半径的圆与准线l()A.相交B.相切C.相离D.位置由F确定解析:由抛物线的定义可知点P到焦点F的距离等于到准线的距离,即圆心到准线的距离等于半径,故圆与准线相切.答案:B123454.椭圆𝑥24+𝑦23=1的左焦点与抛物线y2=ax的焦点重合,则a=.解析:由已知得椭圆的左焦点为(-1,0),∵抛物线的焦点为𝑎4,0,∴𝑎4=-1,∴a=-4.答案:-4123455.点M到点F(0,-2)的距离比它到直线l:y-3=0的距离小1,则点M的轨迹方程是.解析:由题意,知点M到点F(0,-2)的距离与它到直线l':y-2=0的距离相等,结合抛物线的定义可知,点M的轨迹是以点F(0,-2)为焦点、y=2为准线的抛物线,即x2=-8y.答案:x2=-8y12345