2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷(理科)(解析版) (1)

第1页（共22页）2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=ln（1﹣x）}，N={x|2x（x﹣2）＜1}，则（∁UM）∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0＜x≤1}2．若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．D．3．复数﹣=（）A．0B．2C．﹣2iD．2i4．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．35．由直线x=0，y=0与y=cos2x（x∈[0，]）所围成的封闭图形的面积是（）A．B．1C．D．6．某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A．B．9+3C．18D．12+37．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（）A．1B．2C．D．8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2第2页（共22页）9．已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）10．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A．B．C．D．11．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．12．在平行四边形ABCD中，•=0，沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C，且2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为（）A．1B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．根据如图所示的程序语句，若输入的值为3，则输出的y值为______．14．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a11+b11=______．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为______．第3页（共22页）16．△ABC中，点D是边BC上的一点，∠B=∠DAC=，BD=2，AD=2，则CD的长为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an•3an（n∈N+），求数列{bn}的前n项和Tn．18．调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：推销员ABCDE工作年限x（万元）23578年推销金额y（万元）33.546.58（Ⅰ）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．附：=，=﹣．19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，BC=2，P为A1B1中点，M，N，Q分别为棱AB，AA1，CC1上的点，且AB=4MB，AA1=3AN，CC1=3CQ．（Ⅰ）求证：PQ⊥平面PD1N；（Ⅱ）求二面角P﹣D1M﹣N的余弦值．第4页（共22页）20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：+y2=1（a＞1）的长轴长为2，抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F是椭圆C1的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与椭圆C1的交点分别为C，D，若•=2•，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：ln2•ln3…lnn＞（n≥2，n∈N+）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b为实数．第5页（共22页）（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b+）（a2++）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．第6页（共22页）2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=ln（1﹣x）}，N={x|2x（x﹣2）＜1}，则（∁UM）∩N=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0＜x≤1}【考点】指数函数单调性的应用；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【分析】先化简集合A、B，再求出CUM，从而可求交集．【解答】解：M={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），N={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2），∵全集U=R，∴CUM=[1，+∞）（CUM）∩N=[1，+∞）∩（0，2）=[1，2）故选B．2．若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选A3．复数﹣=（）A．0B．2C．﹣2iD．2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接通分，然后化简为a+bi（a、b∈R）的形式即可．【解答】解：﹣=﹣=﹣=i+i=2i．故选D．4．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）第7页（共22页）A．0B．1C．2D．3【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据四种命题之间的关系，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假．【解答】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C5．由直线x=0，y=0与y=cos2x（x∈[0，]）所围成的封闭图形的面积是（）A．B．1C．D．【考点】定积分．【分析】先确定积分区间，再利用定积分表示面积，即可求出结论．【解答】解：由直线x=0，y=0与y=cos2x（x∈[0，]）所围成的封闭图形的面积S=cos2xdx=sin2x|=，故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A．B．9+3C．18D．12+3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是直四棱柱，由梯形、矩形的面积公式求出各个面的面积求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是直四棱柱，其中底面是等腰梯形，上底、下底分别是1、2，高是1，则梯形的腰是=，第8页（共22页）侧棱与底面垂直，侧棱长是3，∴该几何体的表面积S=+=12+3，故选：D．7．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（）A．1B．2C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】作出图形，根据向量的线性运算规则，得，再由分解的唯一性得出λ1与λ2的值即可．【解答】解：由题意，如图，因为AD=AB，BE=BC，∴，又（λ1，λ2为实数），∴，∴λ1+λ2=．故选C．8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．第9页（共22页）【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C9．已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（x）的奇偶性及在x≥0上的单调性，由f（x）的性质可把f（t）＞f（2﹣t），转化为具体不等式，解出即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=log3（x+1），∴函数在x≥0上为增函数，∵函数y=f（x）在R上为偶函数，f（t）＞f（2﹣t），∴|t|＞|2﹣t|，∴t＞1，∴实数t的取值范围是（1，+∞）．故选：B．10．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，第10页（共22页）∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．11．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：∵是偶函数，排除A，当x=2时，，排除C，当时，，排除B、C，故选D．12．在平行四边形ABCD中，•=0，沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C，且2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为（）A．1B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知中•=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2||2+||2=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径．第11页（共22页）【解答】解：平行四边形ABCD中，∵•=0，∴AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∵平面ABD⊥平面BDC三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4∴外接球的半径为1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．根据如图所示的程序语句，若输