高等数学(侯风波)第2章课件PPT

第一节极限的定义第二节极限的运算第三节函数的连续性第二章极限与连续一、函数的极限二、数列的极限三、极限的性质四、极限分析定义五、无穷小量六、无穷大量第一节极限的定义第一节极限的定义１．0xx时函数()fx的极限引例从函数图形特征观察函数的极限如图１：当1x时，()1fxx无限接近２；如图２：当1x时，21()1xgxx无限接近于２．O1-1x11)(2xxxgy图２图１O1-1(1,2)xyf(x)=x+1一、函数的极限邻域的概念：开区间（x，x）称为以x为中心，以（＞０）为半径的邻域，简称为点x的邻域，记为N（x，）．用0ˆ(,)Nx表示0x的空心邻域，即0000(,)(,)(0)xxxx．函数()1fxx与21()1xgxx是两个不同的函数，前者在1x处有定义，后者在1x处无定义．这就是说，当1x时，()fx，()gx的极限是否存在与其在1x处是否有定义无关．定义１设函数()fx在0x的某一空心邻域0ˆ(,)Nx内有定义，如果当自变量x在0ˆ(,)Nx内无限接近于0x时，相应的函数值无限接近于常数A，则A为0xx时函数()fx的极限，记作0lim()xxfxA或0()()fxAxx．２．0xx时函数()fx的极限定义２设函数()fx在0x的右半邻域00(,)xx内有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于0x时，相应的函数值()fx无限接近于常数A，则称A为函数()fx在0x处的右极限，记为由该定义可知,讨论函数()fx在0x处的右极限0lim()xxfxA时，在自变量x无限接近于0x的过程中，恒有0xx.于是有00lim()lim()xxxxfxfxA.000lim()()()().xxfxAfxAfxAxx，或定义3设函数)(xf在0x的左半邻域),(00xx内有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于0x时，相应的函数值)(xf无限接近于常数A，则称A为函数)(xf在0x处的左极限，记为，Axfxx)(lim0或Axf)(0或).()(0xxAxf3．0xx时函数)(xf的极限由该定义知,讨论函数)(xf在0x处的左极限Axfxx)(lim0时，在自变量x无限接近于0x的过程中，恒有0xx,于是有Axfxfxxxx)(lim)(lim00.定理1Axfxx)(lim0的充要条件是.)(lim)(lim00Axfxfxxxx例1设,0()1,0,0xxfxxxx，，，画出该函数的图形，并讨论)(lim0xfx，)(lim0xfx，)(lim0xfx是否存在．解)(xf的图形如图3(见下页)所示，由该图不难看出：0)(lim0xfx；0)(lim0xfx；0)(lim0xfx.例2设1,0sgn0,01,0xxxx，，，(通常称xsgn为符号函数)，画图讨论,sgnlim0xx,sgnlim0xxxxsgnlim0是否存在．解函数xsgn的图形如图4(见右上图)所示，不难看出；1sgnlim0xx；1sgnlim0xx；xxsgnlim0不存在.yO1-1x1图3O-1x1y图44．x时函数)(xf的极限定义4设函数)(xf在ax||时有定义(a为某个正实数)，如果当自变量x的绝对值无限增大时，相应的函数值)(xf无限接近于常数A，则称A为x时函数)(xf的极限，记为Axfx)(lim或)()(xAxf.5．x时函数)(xf的极限定义5设函数)(xf在),(a内有定义(a为某个正实数)，当自变量x无限增大时，相应的函数值)(xf无限接近于常数A，则称A为x时函数)(xf的极限，记为Axfx)(lim或)()(xAxf．定义6设函数)(xf在),(a内有定义(a为某个实数)，当自变量无限变小(或x无限变大)时，相应的函数值)(xf无限接近于常数A，则称A为x时函数)(xf的极限，记Axfx)(lim或)()(xAxf．定理2lim()xfxA的充要条件是)(limxfx=Axfx)(lim．6．x时函数)(xf的极限例3由图5可知：01limxx；01limxx．图5OxyxeyOxyxy1图6由图6可知0elimxx．1．数列的概念设自变量为正整数的函数),2,1)((nnfun，其函数值按自变量n由小到大排列成一列数,,,,,321nuuuu称为数列，将其简记为nu，其中nu为数列nu的通项或一般项．例如nnu21，相应的数列为,21,21,21,2132n2．数列的极限定义7对于数列nu，如果当n无限增大时，通项nu无限接近于某个确定的常数A，则称A为数列nu的极限，或称数列nu收敛于A，记为Aunn}{lim或)(nAun．若数列nu没有极限，则称该数列发散．二、数列的极限例3观察下列数列的极限：(1)1nnun：(2)nnu21：(3)12nun：(4)1)1(nnu．解观察数列在n时的发展趋势，得（1）对于数列1nnun，即,...1,...,43,32,21nn极限11limnnn；（2）对于数列nnu21，即,...21,...,21,21,2132n极限021limnn；（3）对于数列12nun，即,...12,...,7,5,3n极限)12(limnn不存在；（4）对于数列1)1(nnu，即,...)1(,...,1,1,11n极限1)1(limnn不存在．3.数列极限存在定理单调数列如果数列}{nu对于每一个正整数n，都有1nnuu，则称数列}{nu为单调递增数列；类似地，如果数列}{nu对于每一个正整数n，都有1nnuu，则称数列}{nu为单调递减数列．有界数列如果对于数列}{nu，存在一个正常数M，使得对于每一项nu，都有||nu≤M，则称数列}{nu为有界数列．定理3(单调有界原理)单调有界数列必有极限．性质性质1(惟一性)若Axfxx)(lim0，Bxfxx)(lim0，则BA.性质2(有界性)若Axfxx)(lim0，则存在0x的某一空心邻域),ˆ(0xN，在),ˆ(0xN内函数)(xf有界．三、极限的性质性质3(保号性)若Axfxx)(lim0且0A(或0A)，则存在某个空心邻域),ˆ(0xN，在),ˆ(0xN内0)(xf(或0)(xf)．推论若在某个空心邻域),ˆ(0xN内，)(xf≥0(或)(xf≤0)，且Axfxx)(lim0,则A≥0(或A≤0).性质4(夹逼准则)若x),ˆ(0xN(其中为某个正常数)时，有)(xg≤)(xf≤)(xh，Axhxgxxxx)(lim)(lim00,则Axfxx)(lim0.上述性质，若把0xx换成自变量x的其他变化过程，有类似的结论成立．定义1(极限的定义)设)(xf在0x的某个邻域),(0xN中有定义，若对任意给定的正数，存在0，使得当00xx时，总有Axf)(成立，则称0xx时，)(xf以A为极限，记为Axfxx)(lim0．五、无穷小量1．无穷小量的定义定义8极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小．说明（1）数零是惟一可作为无穷小的常数.（2）无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量．四、极限分析定义例4自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：11)1(xy；12)2(xy；xy2)3(；xy41)4(.解(1)因为011limxx，所以当x时，11x为无穷小；(2)因为0)12(lim21xx，所以当21x时，12x为无穷小；(3)因为02limxx，所以当x时，x2为无穷小；(4)因为041limxx，所以当x时，x41为无穷小．2．极限与无穷小量之间的关系设Axfxx)(lim0，即0xx时，函数值)(xf无限接近于常数A，也就是说Axf)(无限接近于常数零，即0xx时，Axf)(以零为极限，也就是说0xx时，Axf)(为无穷小量，若记Axfx)()(，则有)()(xAxf，于是有定理4(极限与无穷小量之间的关系)Axfxx)(lim0的充要条件是)()(xAxf，其中)(x是0xx时的无穷小量．定理4中自变量x的变化过程换成其他任何一种情形,,,(00xxxxx),xx后仍然成立．解因为1)11(lim1lim)(limxxxxfxxx，而xxxxf111)(中的x1为x时的无穷小量，所以，xxf11)(为所求极限值与一个无穷小量之和的形式．3．无穷小量的运算性质定理5有限个无穷小的代数和是无穷小量．说明：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.如n时，,2,122nn2nn均为无穷小量，但21)2121(lim2)1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn.例5当x时，将函数xxxf1)(写成其极限值与一个无穷小量之和的形式．定理6无穷小与有界量的积是无穷小．推论1常数与无穷小的积是无穷小．推论2有限个无穷小的积仍是无穷小．说明：两个无穷小之商未必是无穷小.如0x时，x与2x皆为无穷小，但由22lim0xxx知xx2当0x时不是无穷小．例6求xxx1sinlim20．解因为0lim20xx，所以2x为x时的无穷小量，又因为x1sin≤1，所以xx1sin2仍为0x时的无穷小量，所以01sinlim20xxx.1．无穷大量的定义定义9在自变量x的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值)(xf无限增大，则称)(xf为该自变量变化过程中的无穷大量(简称为无穷大)；如果相应的函数值)(xf(或)(xf)无限增大，则称)(xf为该自变量变化过程中的正(或负)无穷大．如果函数)(xf是0xx时的无穷大，记作)(lim0xfxx；如果)(xf是0xx时的正无穷大，记作)(lim0xfxx；如果)(xf是0xx时的负无穷大，记作)(lim0xfxx．对于自变量x的其他变换过程中的无穷大量，正无穷大量，负无穷大量可用类似的方法描六、无穷大量述．值得注意的是，无穷大量是极限不存在的一种情形，这里借用极限的记号，但并不表示极限存在．例x1是0x时的负无穷大量；用记号表示为,1lim0xx2x是x时的正无穷大量，用记号表示为2limxx.2．无穷大与无穷小的关系定理7(无穷大与无穷小的关系)在自变量的变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大．例7自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：(1)11xy；(2)12xy；(3)xyln；(4)xy2．解(1)因为0)1(lim1xx，即1x时1x为无穷小量，所以11x为1x时的无穷大量；(2)因为0)121(limxx，所以x时121x为无穷小量，所以12x为x时的无穷大量；(3)由右图知，0x时，xln，xxlnlim0．x时，xln，即xxlnlim．所以，0x及x时，xln都是无穷大量；Oyx1xyln思考题１在Axfxx)(lim0的定义中，为何只要求)(xf在的0x的某