高等数学-习题答案-方明亮-第二章

1第二章导数与微分习题2-11.解：当自变量从x变到1x时，y相应地从()=8fxx变到11()=8fxx，所以导数111111()()8()limlim8xxxxfxfxxxyxxxx.2.解：由导数的定义可知022020()()()lim()()()lim2lim2hhhfxhfxfxhaxhbxhcaxbxchaxhhbhaxbh。3．解：0022()22()limlimxxxxxsinsincosxxcosxcosxxx0022limlim22xxxsinxx-sinsinxx4.解：（1）不能，（1）与()fx在0x的取值无关，当然也就与()fx在0x是否连续无关，故是0()fx存在的必要条件而非充分条件.（2）可以，与导数的定义等价.（3）可以，与导数的定义等价.5.解：（1）45x；（2）3212x；（3）157227x；（4）11ln3x；（5）5616x；（6）22xe.6.解：物体在t时刻的运动速度为：2()()3()VtSTtm/s，故物体在2ts时的速度为：22()3212()tVtm/s.7．证明：由导数定义，知：00()(0)()(0)(0)limlim0xxfxffxffxx00()(0)()(0)limlim(0)0txttftfftfftt2所以，(0)0f。8.解：2424yxx,y，故在点(2,4)的切线平行于直线45yx；同理在点39,24的切线垂直于直线2650xy.9.解：过点(11)(39),,,的直线的斜率为：91431K，而2()2yxx，令24x，得：2x，所以该抛物线上过点(2,4)的切线平行于此割线.10.解：（1）连续，但因为3230001/f(h)f()hhhh因而2300(0)(0)1limlim/hhfhfhh，即导数为无穷大。（2）21000xsin,xyx,x，而20001limlim0xxxyxsinyx，所以函数在0x处连续而201lim00xxsinxx，所以函数在0x点处可导.11.解：要使函数()fx在1x处连续且可导，则应满足011(1)(1)lim()lim()(1),limxxxfxffxfxfx存在，11lim()lim()xxfxaxbab，11()limxxxlimfxeeabe又00(1)(1)(1)limlimxxfxfaxbexx100(1)(1)limlimxxxfxfeeexx，要使0(1)(1)limxfxfx存在，则00(1)limlim()xxaxbeabeaexx，00abeae,bae。12.解：因为200()(0)(0)=limlim0xxfxfxfxx300()(0)(0)=limlim1xxfxfxfxx(0)(0)1ff，所以(0)f不存在.13.解：当0x时，3()fxx是初等函数，所以2()3fxx；同理，当0x时2()3fxx；当0x时300(0)=lim0xxfx，300(0)=lim0xxfx，故(0)0f，所以223,0()0,030xxfxxxx或223,0()3,0xxfxxx.14．(1)证明：设()()fxfx，且()fx可导，则由导数定义000()()[()]()()limlim()()lim()hhhfxhfxfxhfxfxhhfxhfxfxh即结论可证。(2)略.15.解：当(0)0f时，不妨设(0)0f，则在0x的某一邻域中有()0fx，故|()|()fxfx，所以|()|fx在0x处也可导；当(0)0f时，由于|()||(0)|()(0)sgn00fxffxfxxx，其中100010,xsgnx,x,x，分别在0x处计算左、右极限，得在0x处的左导数为|(0)|f，右导数为|(0)|f，所以|()|fx在0x处也可导的充分必要条件(0)0f。16.略17.略习题2-21.解：（1）6sin2x；（2）12cos(31)t；（3）368sin2xex；4（4）45(1)x；（5）412xe；（6）3221(1)x；（7）21ln(ln)xxx；（8）22(1)(522)xxx；（9）2(3sinsincos)xxexxxxx；（10）4222(94)ln32(3ln)xxxxxxxx.2．解：（1）222()()1()cosxcosxsinxsinxcosxcotxcscxsinxsinxsinx（2）21()cosxcscxcscxcotxsinxsinx。3．解：（1）221111()11arccosxsinycosyxcosy；（2）同理可证。4.解：（1）23ysinxcosx，4522xy；（2）同理可求10(2)3f.5.解：当0y时，1202xx，则12x，所以124xy，故切线方程为420,420xyxy.6.解：（1）25242[(23)]5(23)(23)yxxx24245(23)42023xxx(x)；（2）2222((52))(52)(52)4(52)ysinxcoxxxcosxx；（3）223213212()(321)xxxxyeexx2321(62)xxex；（4）22(sin())2cosyxxx；（5）2(cos)2cos(sin)2sincosyxxxxx；5（6）1222[()]yax122222221()()2xaxaxax；（7）221[arctan()]()1()1xxxxxeyeeee；（8）2[(arccos)]2arccos(arccos)yxxx22arccos1xx；（9）1()()ylnsinxsinxsinxcotx；（10）32333(1)3((1))(1)(1)axxylogxxlnaxlna.7.解：（1）211(arccos(12))(12)(1)1(12)yxxxxx；（2）221111arcsin111yxxxxx；（3）1ln1lnxyx22(1ln)(1ln)(1ln)(1ln)2(1ln)(1ln)xxxxxxx；（4）22[ln()]yxax22222211()xaxxaxax；（5）(sincos)(sin)cossin(cos)nnnyxnxxnxxnx=1sincos(1)nnxnx；（6）121sin211sin21sin22cos21sin221sin21sin2|cos2|(1sin2)xxxxyxxxxx；（7）arctanarctan(arctan)2(1)xxeyexxx；6（8）11(lnln(ln))(lnln)lnlnln[ln(ln)]yxxxxxx；（9）222221111(11)11xxyxxxxx；（10）2111cottantan222211tan22xxyarcx222111sec222113cos1tan222xxxx.8.解：当0x时，2()xcosxsinxfxx；当0x时1()1fxcosxxsinxx；在分段点0x，由导数定义知0()(0)(0)lim00xfxffx00()(0)(1)(0)limlim00xxfxflnxxcosxfxx所以，(0)0f在0x也可导，故()fx在(),上都可导。9．解：（1）cosln(sin)coslnsinxxxxyee，2coslnsincossinlnsinsinxxyexxx2coscos(sin)sinlnsinsinxxxxxx；10.解：（1）32(())sin()sin3fxxx；（2）33(())sin()cosfxxx；（3）33332((()))(sin)cos()3cosfxxxxxx.11.解：（1）(1)(1)((cos))(cos)((cos))(cos)(cos)sinnnnfxnfxfxnfxfxx；（2）11(cos[()])cos[()](cos[()])cos[()]sin[()]()nnnfxnfxfxnfxfxfx.习题2-31.解：（1）35353,9xxyeye；（2）sincos,[(cossin)]2costtttyetetyettet；7（3）221(sinln)2sincoslnsinyxxxxxxx22212sin2sin2sincoslnsin2cos2lnxxyxxxxxxxxx；（4）2(tan)secyxx，22(sec)2sec(sec)2sectanyxxxxx；（5）22231(ln(4)14(4)xyxxxxx，22222311114444;(4)xxyxxxxxxxx（6）2[(1)arctan]yxx2212arctan(1)2arctan11xxxxxx.22(2arctan1)2arctan1xyxxxx2.解：因为33(4)()6,()0xx，运用莱布尼茨公式得(5)(5)3(4)33543()5()()()()123xxxyexexex32(156060)xxxxe(5)(0)60y.3.解：(20)022(20)12(19)22(18)202020()2()2()xxxyCxeCxeCe20221921822022201922022222(2095)2!xxxxexexeexx。4．解：（1）22231d1dd()dddd()dyyyxyyxyyyyyx；（2）33322355dd()()d3()3()ddddd()()yyyyxyyyyyyyxxyyyy。5．证明：22222xyxx；8222222(