2015年步步高二轮复习-专题二 第2讲 函数的应用

第2讲函数的应用考情解读1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点例1(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的区间是()A．(12，1)B．(1，e－1)C．(e－1,2)D．(2，e)(2)(2014·辽宁)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝cosπx，x∈[0，12]，2x－1，x∈12，＋∞，则不等式f(x－1)≤12的解集为()A．[14，23]∪[43，74]B．[－34，－13]∪[14，23]C．[13，34]∪[43，74]D．[－34，－13]∪[13，34]思维升华(1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决．答案(1)C(2)A解析(1)因为f(12)＝ln32－40，f(1)＝ln2－20，f(e－1)＝1－2e－10，f(2)＝ln3－10，故零点在区间(e－1,2)内．(2)先画出y轴右边的图象，如图所示．∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝12.设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标．令cosπx＝12，∵x∈[0，12]，∴πx＝π3，∴x＝13.令2x－1＝12，∴x＝34，∴xA＝13，xB＝34.根据对称性可知直线y＝12与曲线另外两个交点的横坐标为xC＝－34，xD＝－13.∵f(x－1)≤12，则在直线y＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x－1≤34或－34≤x－1≤－13，∴43≤x≤74或14≤x≤23.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f(x)＝(14)x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是()A．1B．2C．3D．4(2)已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0B．f(x0)0C．f(x0)0D．f(x0)的符号不确定答案(1)C(2)C解析(1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝(14)x和y＝cosx的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y＝(14)x和y＝cosx的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.(2)∵f(x)＝2x－log12x在(0，＋∞)上是增函数，又a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，即f(a)＝0，∴当0x0a时，f(x0)0.热点二函数的零点与参数的范围例2对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝b，a－b≥1，a，a－b1.设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是()A．(－2,1)B．[0,1]C．[－2,0)D．[－2,1)思维启迪先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围．答案D解析解不等式：x2－1－(4＋x)≥1，得：x≤－2或x≥3，所以，f(x)＝x＋4，x∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x2－1，x∈－2，3.函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点．如图，所以－1－k≤2，故－2≤k1.思维升华已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是________．答案a－12解析∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f′(x)＝0的根，∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴－1＋1＝－2b3a－1×1＝c3a，∴b＝0，c＝－3a，∴f(x)＝ax3－3ax，∵3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0，∴3a(f(x))2－3a＝0，∴f2(x)＝1，∴f(x)＝±1，∴f11f－1－1，即a－3a1－a＋3a－1，∴a－12.热点三函数的实际应用问题例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|xx2＋1－a|＋2a＋23，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，12]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．(1)令t＝xx2＋1，x∈[0,24]，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪(1)分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋23，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)．解(1)当x＝0时，t＝0；当0x≤24时，x＋1x≥2(当x＝1时取等号)，∴t＝xx2＋1＝1x＋1x∈(0，12]，即t的取值范围是[0，12]．(2)当a∈[0，12]时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋23，则g(t)＝－t＋3a＋23，0≤t≤a，t＋a＋23，at≤12.∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，12]上单调递增，且g(0)＝3a＋23，g(12)＝a＋76，g(0)－g(12)＝2(a－14)．故M(a)＝g12，0≤a≤14，g0，14a≤12.即M(a)＝a＋76，0≤a≤14，3a＋23，14a≤12.当0≤a≤14时，M(a)＝a＋762显然成立；由3a＋23≤2，14a≤12，得14a≤49，∴当且仅当0≤a≤49时，M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49a≤12时超标．思维升华(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝10.8－130x20x≤10，108x－10003x2x10.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解(1)当0x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－x330－10；当x10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－10003x－2.7x.∴W＝8.1x－x330－100x≤10，98－10003x－2.7xx10.(2)①当0x≤10时，由W′＝8.1－x210＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′0；当x∈(9,10)时，W′0，∴当x＝9时，W取得最大值，且Wmax＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x10时，W＝98－10003x＋2.7x≤98－210003x·2.7x＝38，当且仅当10003x＝2.7x，即x＝1009时，W＝38，故当x＝1009时，W取最大值38.综合①②知：当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．1．函数与方程(1)函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点．(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·重庆)已知函数f(x)＝1x＋1－3，x∈－1，0]，x，x∈0，1]，且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.－94，－2∪0，12B.－114，－2∪0，12C.－94，－2∪0，23D.－114，－2∪0，23答案A解析作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2)．因为直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝12，可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0m≤12，g(x)有两个不同的零点．当直线y＝m(x＋1)过点B时，m＝－2；当直线y＝m(x＋1)与曲线f(x)相切时，联立y＝1x＋1－3，y＝mx＋1，得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，由Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝0，解得m＝－94，可知当y＝m(x＋1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时－94m≤