寿险精算公式集合

第一章生命表函数与生命表构造生存函数定义意义：新生儿能活到岁的概率与分布函数的关系与密度函数的关系新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率未来寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作T(x)。分布函数：基本函数未来寿命的生存函数特别：：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率整值未来寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数11Pr(())Pr(()1)kxkxkxkxkxxkxkKXkkTxkqqpppqq未来寿命的期望与方差期望未来寿命：()x未来寿命的期望值(均值),简记00(())(1)oxtxtxeETxtdppdt未来寿命的方差2220(())(())(())2otxxVarTxETxETxtpdte整值未来寿命的期望与方差期望整值未来寿命：()x整值未来寿命的期望值(均值),简记xe100(())xkxxkkxkkeEKxkpqp整值未来寿命的方差22210(())()()(21)kxxkVarKxEKEKkpe死亡效力)Pr()(xXxSx)(1)(xFxS)()(xSxfPr()()()xXzsxszPr(())()()()()txqTXtprxXxtXxsxsxtsxtxpPr(())Pr()()()txpTxtXxtXtsxtsx0()xpsxxpxqxtuqxtuxtxtxtuxtuqqqpp()x(),()1,0,1,KXkkTxkk定义：()x的瞬时死亡率，简记()()ln[()]()()xsxfxsxsxsx死亡效力与生存函数的关系0()exp{}exp{}xsxttxsxsxdspds死亡效力与密度函数的关系0()()exp{}xxxsfxsxds死亡效力表示未来寿命的密度函数()gtT()()F()1()()()()f()()()()txxtTtxxtsxsxttpsxsxtddsxsxttGtpdtdtsxsx关寿命分布的参数模型DeMoivre模型(1729)1()1,0xxxsxxGompertze模型(1825)()exp{(1)},B0,c1,0xxxBcsxBcxMakeham模型(1860)()exp{(1)},B0,A-B,c1,0xxxABcsxAxBcxWeibull模型(1939)1()exp{},0,0,0nxnkxsxkxknx参数模型的问题：至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史：1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表的构造原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号：新生生命组个体数：0l年龄：x极限年龄：0l个新生生命能生存到年龄X的期望个数：xl0()xllsx0l个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：nxd（特别：n=1时，记作xd）1nxxxnxnxxxxxxdlllqdlllq0l个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：txLtxxyxtdylL0l个新生生命中能活到年龄x的个体的未来寿命总数：xToxxyxxxTTldyel例2.1：已知)1001(10000xlx。计算下面各值：（1）30103030302030,,,qqpd（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。解答：5030303120303030604041303030103030505520305200100000011005/73/71/7021/163(1)50100ldllplllllqqllllqlTxdxle、、、生命表实例（美国全体人口生命表）（略）中国的生命表中国生命表结构。生命曲线。生命特点。选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因：需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用（略）第二章趸缴纯保费保险费的种类:(1)纯保费:与死亡给付金对应的保险费(2)总保费:包括纯保费、经营费用和利润。纯保费又分为:(1)趸缴纯保费(2)均衡纯保费第一节离散型的人寿保险模型是以离散型未来寿命K(x)为基础,保险金是在被保险人死亡所处的保单年度末支付而建立的各种人寿保险的数学模型.纯保费厘定的基本假定三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预定利率）。净保费厘定原理原则：保费净均衡原则解释：所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值基本符号：——投保年龄——人的极限年龄——保险金给付函数——贴现函数——保险给付金在保单生效时的现时值主要险种的趸缴净保费的厘定：n年期定期寿险终身寿险延期m年的终身寿险n年期生存保险n年期两全保险延期m年的n年期的两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险2.1.1死亡保险n年定期死亡保险(x)签约离散型的保险金额为1个单位的n年定期死亡保险的趸缴纯保费为:111:0nkkxxkxnkxxnxAvpqMMD10,,xxxxxxxkklvCvdMCx记D11111:001110001()nnkkxkkxxkxnkkxxnnkxkxkxkkxxxxnxkxkkknxxdAvpqvldvCvlvDMMCCDD例题：设年龄为35岁的人投保离散型的保险金额为5000元的25年定期保险.求该保单的趸缴纯保费.1356035:25355000500014116.129301.6895000126513.80190.27MMAD例题：现年45岁的人,缴付趸缴纯保费5000元,购买一张20年定期寿险保单,保险金额于死亡者所处的保单年度末支付,试求该保单的保险金额.自然纯保费11::111xnxxxxxxxxxxxAndAvqvlvdCcvlD当时)(xtbtvtztttvbz终身寿险110010010kkxkxxkkkxxkxkxkxkkxxxxkxxxkkdAvqvldvCvlvDMDlAvd例题：100个年龄为30岁的人投保终身死亡保险,保险金额为1000元,利率为6%.若保险基金的实际运作结果是:第2年和第5年分别有1人死亡,第1年利率为6%,第2年和第3年为6.5%,第4年和第5年为7%.问保费为多少?第5年末基金的期望值和实际值之差.解:保费为P=1000A30=1000M30/D30=86.63基金S=100P=8663令Fk表示第k年末的基金值,则运行结果为:F0=8663F1=8663(1+6%)=9182.78F2=9182.78(1+6.5%)-1000=8779.66F3=8779.66(1+6.5%)=9350.34F4=9350.34(1+7%)=10004.86F5=10004.86(1+7%)-1000=9705.20基金在第5年末的期望值:1005p30A351000=100000(l35/l30)A35=11061.69期望值和实际运行结果之差为:11061.69-9705.20=1356.492.12两全保险n年生存保险1:/nnxxnxnnxnxnxxxxnxAvplvlvllvDDn年两全保险bk+1=1Z=vk+1(k=0,1,…,n-1)=vn(k=n,n+1,…)11:::()//xnxnxnxxnxxnxxxnxnxAAAMMDDDMMDD1111:::011110010//nknxnxkxnxnxnkxxnnnknkxnxnxnxnxxkkxxxxnxkxxnxkxxnxnxAAAvqvpdldvvlvvvlllvlvCDDDMMDD例题：设年龄25岁的人购买离散型的保额为5000元的30年两全保险,试求该保单的趸缴纯保费.2.1.3延期保险保额为1,h年延期的n年定期保险1111:111:::1::hnhkxhkxnkhxhxhnxhxnxhnxhxhnxAvqMMDAAAAAh年延期的n年定期保险11111:111()()knhnhkxkxhkxnkhkhxnhxkxkxkkhkhkhnxxxhxhnxvdAvqlCCCDDMMD延期终身寿险111:1:hkxxhkkhkxkxhxxkhxxhhxxxhAvqdMvlDAAAAA延期两全保险1:::hxhxhnxhnhxnxxxhnMMDADAA2.14变额受益保险1递增的n年定期保险111:011100121()(1)(1)(1)1(23...)nkxkxnkxknnxkxkxkkxxxxxxnxIAkvqvdCkkvlDCCCnCD111211111211[(...)(...)...]1(...)1(...)1()xxxnxxxnxnxxxnxxnxnxnxxxxxnxnxxxnxnxCCCCCCCDMMMMMMDMMMMnMDRRnMD1:1()()xxnxnxnxIARRnMD2递增的终身寿险100()(1)()kxxkkxxxxkkIAkvqRDIAA例题：设年龄为30岁的人,购买离散的递增的30年定期保险,保险利益是:被保险人在第一个保单年度内死亡,则给付1000元;在第二个保单年度内死亡则给付1100元;第三个保单年度内死亡给付1200元,依次下去直到第30个保单年度内死亡给付3900元.试求该保单的趸缴纯保费1:1()()xxnxnxnxIARRnMD3递减的n年保险12312(1):1111001110001231()(1)(2)...1()()1()()1[()(23...(1))]nxxxxnxnxknnkxkxkxkkxnnnxkxkxkkkkx