寿险精算利息基础

第二部分利息基础知识一.利息的度量二.确定年金三.等值方程一.利息的度量1.基本概念在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增值就越大。同时，等额的货币在不同时间，由于受通货膨胀的影响，其实际价值也不同。因此，借入或出让资金都有相应的代价或报酬。利息：利息是借入资本需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权得到的报酬。利息的计算与累积函数、计息方式、投资期长短有有关。本金：开始投资滋生利息的款项。终值（累积值）：本金经过一定时期后形成的总金额称为终值，也称为累积值。累积函数a(t)：0时刻数量为1的本金在t时刻的累积值（终值），a(0)=1，a(t)可连续或间断，a(t)单调递增，也可单调递减，但我们总希望它单调递增以保证存在正的利息。t表示1元本金投资使用的时间长度。时间长度可以用不同的单位来度量，如分钟、小时、日、周、月、季、三个月、半年、一年等。用来度量时间的单位称为“度量期”或“期”，其中最常用的期是年。总额函数A(t):一定额度（K个单位）的本金在t时刻的累积值称为总额函数，它是本金与利息之和，A(0)就是本金。以I(t)表示t时刻的利息,则I(t)=A(t)-A(0).A(t)与a(t)的关系：A(t)=A(0)a(t)。我们称累积函数a(t)的倒数1/a(t)为t期贴现因子或贴现函数,记为v(t).把1期贴现因子1/a(1)简称贴现因子，记为v.t期贴现因子是为了使在t期期末的累积值为1而在开始时投入的本金金额.即：A(0)=1/a(t)从而，A(t)=A(0)a(t)=[1/a(t)]a(t)=1.我们把为了在t期期末得到某个累积值而在开始时投入的本金金额称为该累积值的现值。如：1/a(t)是在t期期末累积值1的现值，在t期期末累积值A(t)的现值是A(t)[1/a(t)]。在某种意义上，累积与贴现是相反的过程。a(t)为1单位本金在t期期末的累积值；而1/a(t)是t期期末1单位终值的现值。把从投资日起第n个度量期得到的利息金额记为In,In=A(n)-A(n-1),n大于等于1.In为一个时间区间上所得利息的量,A(n)为在一特定时刻的累积量。实际利率：某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，第n个度量期的实际利率in=In/A(n-1)=[A(n)-A(n-1)]/A(n-1)；•例1某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的金额为1020元，第二年末他存折上的金额为1050元，问：第一年和第二年的实际利率分别是多少？解:显然A(0)=1000，A(1)=1020,A(2)=1050，因此，I1=A(1)-A(0)=20，I2=A(2)-A(1)=30i1=20/1000=2%,i2=30/1020=2.941%.故第一年的实际利率2%，第2年的实际利率为2.941%。2.单利和复利前面讨论的实际利率是针对某一个度量期而言的，若投资期为多个或非整数个度量期，那么如何进行利息的度量呢？最重要的度量方式有单利和复利两种。考虑投资一单位本金。（1）如果其在t时刻的累积值为a(t)=1+it，则该笔投资以每期单利i计息，称这样产生的利息为单利；（2）如果其在t时刻的累积值为a(t)=(1+i)^t，则称该笔投资以每期复利i计息，这样产生的利息为复利。由上述定义可知：（1）若以每期单利i计息,则在1元本金的投资期间，每一度量期产生的利息均为i。但这并不意味着其实际利率为i。实际上，对n=1，第n期的实际利率为()(1)(1)(1)(1(1))1(1).1(1)nananianinininiin显然，i_n关于n单调递减。常数的单利意味着递减的实际利率。（2）若以每期复利i计息。则在投资期间的不同度量期将产生不同的利息。即，nin11()(1)(1)(1)(1)(1).nnnIananiiiiianI_n关于n单调递增。而对于每期实际利率，有i_n=[a(n)-a(n-1)]/a(n-1)=I_n/a(n-1)=i.常数的复利意味着实际利率为常数。单利只在本金上计息，而复利是利上生利的计息方式。例2某银行以单利计息，年息为2%，某人存入5000元，问5年末的累积值是多少？解：A(5)=5000a(5)=5000*(1+5*2%)=5500.例3上例中若银行以复利计息，其它条件不变，问5年末的累积值是多少？解：A(5)=5000*a(5)=5000*(1+2%)^5=5520.4.即5年末的累积值为5520.4元。注意：在单利和复利下，也可用各期的实际利率计算累计函数和总额函数。设第t期的实际利率为i_t,则在单利下，A(n)=A(0)(1+i_1+i_2+…+i_n);a(n)=1+i_1+i_2+…+i_n.在复利下，A(n)=A(0)(1+i_1)*(1+i_2)***(1+i_n);a(n)=(1+i_1)*(1+i_2)***(1+i_n).例4以10000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%。以单利和复利计算5年后的累积资金。解：在单利下，有A(5)=10000*(1+2*5%+3*6%)=12800(元)。在复利下，有A(5)=10000*(1+5%)^2*(1+6%)^3=13130.95（元）。3.实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。可以看出，实际贴现率d与实际利率i的定义十分类似。事实上，它们都是一个比例，而且都是利息除以投资金额。只不过实际利率i对应的投资金额是在期初实际付出的资金金额，即本金；而实际贴现率d对应的投资金额是期末投资者可收回的资金金额。由定义可知，实际利率反映了单位货币在单位时间内的利息额，而实际贴现率反映了单位货币在单位时间内的贴现额。贴现额是指将应该在将来某时期支付的金额提前到现在来支付时，在支付额中应扣除的一部分金额，即扣除额。它相当于资金投资在期初的预付利息。（贴现和利息的区别在于分析的出发点不同，利息是在本金基础上的增值，贴现是在累积值基础上的减少值，相当于利率在每一复利计算期的起点时刻被计入）。类似于实际利率，也可以定义任意度量期的实际贴现率，令d_n为从投资日算起第n个时期的实际贴现率，根据定义，有()(1),1,()()nnIAnAndnAnAn整数I_n为利息金额。一般而言，d_n也可能随不同度量期而变化。然而，在复利情况下，若实际利率为常数，则实际贴现率也是常数。设每期实际利率为i,则1n()(1),()(1)(1)(1)()(1).1nnnnaniananiidaniii与n无关。例5某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的金额为1050元，第二年末他存折上的金额为1100元，问：第一年和第二年的实际贴现率分别是多少？解：A(0)=1000,A(1)=1050,A(2)=1100,d_1=[A(1)-A(0)]/A(1)=50/1050=4.762%,d_2=[A(2)-A(1)]/A(2)=50/1100=4.545%实际利率和实际贴现率都是用来度量利息的，若某人以实际贴现率d借款1，则实际上的本金为1-d，而利息（贴现）金额为d，若这笔业务的实际利率为i，则按实际利率的定义，得i=d/(1-d),这表明，与实际贴现率d等价的实际利率为d/(1-d)。同时，由上等式可以求得d=i/(1+i)，即与实际利率i等价的实际贴现率为i/(1+i).贴现率d与贴现因子v之间也存在着重要关系。由于v=1/a(1)=1/(1+i)，从而d=i/(1+i)=iv对于这个式子我们可以这样理解：以贴现率d投资1赚得的（已在期初支付）利息是d,如果该笔业务以利率度量，且等价的实际利率为i,也就是说，这笔业务如果投资1，将在期末赚得利息i，而i在期初的现值为iv，这个值显然应该等于d。此外，还可得关系式：111,1111,(1),.iidviiivddividiididid总之，等价的利率i、贴现率d和贴现因子（折现因子）v之间关系如下：,(1),1111,,,1diidiiddivddivvididi例6已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而等价的贴现金额为300元，求本金额。解：设本金为A(0).假如他以贴现额300元投资A(0),则其实际本金为A(0)-300,则实际利率为i=300/(A(0)-300),同时，由题设A(0)*i=336于是，得，300/(A(0)-300)=336/A(0),可解出A(0)=2800(元)。4.名义利率和名义贴现率前面讨论了实际利率和实际贴现率，“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况而定。然而，实际中往往有很多在一个度量期中利息支付不止一次或多个度量期才支付一次的情形。这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义”的。例如，银行的存款年利率为3%，但假如规定一年中可以结算4次利息，则实际年终累积值肯定会超过年利率下的累积值。这时，这个年利率3%就是名义上的利率，即名义利率。再如，银行存款年利率4%，但至少3.5年才可结算利息，这时，该年利率也是名义利率。我们用表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。()mi()mi()mi()mi所谓名义利率是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为。由此可知，与等价的实际利率I之间的关系：()1(1/)mmiim()/mim()mi同样的，我们还可以定义名义贴现率，它是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际贴现率为。类似的，我们也可以推导出名义利率与名义贴现之间的关系：()md()mdm()1(1/)mmddm()()()()mmmmididmmmm值得注意的是关于利率的描述，因为实务中有关利率的术语不统一，而且有些术语存在多重含义。我们这里称i^(m)为每年计息m次的年名义利率（各计息期长度相同）；d^(m)为每年计息m次的年名义贴现率，如i^(2)=6%表示每年计息2次的年名义利率为6%，也即每半年的实际利率为3%。而i^(1/2)=6%表示每两年计息一次的年名义利率为6%。例7（1）求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率以及每年计息4次的年贴现率（2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。解：（1）(2)118%,2ii2（1+）1(2)2[(18%)1]27.85%.i144[11.08]7.623%.(4)-4(4)d（1-）=1+i=1.08,4d120.08(1)121.0836,8.36%.i(12)-12d（2）1+i=(1-)12例8求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资3年的累积值。解：34312(3)10000(3)10000(1)10000(1).010000100001.01511956.2Aaii（4）12406（1+）4（元）5.利息力（利息强度）前面定义的各种利息度量方式都是用来在规定的时间区间内的利息的。实际利率和实际贴现率度量的是一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来度量在1/m个度量期内的利息。在很多情况下，我们还希望能度量在每一时间点上的利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对利息在各个时间点上的度量称为利息力或利息强度。这相当于度量当m趋于正无穷大时的1/m度量期内的极限利息。即考虑投资一笔资金，设在时刻t的资金金额由总额函数A(t)给出，这笔资金的变化完全由于利息的原因，即本金既不增加也不撤回。定义()lim.mmi()()()()tAtatAta