代数结构同态的方法及应用

代数结构同态的方法及应用摘要本文简要介绍了群论的相关概念，其中主要介绍了群的概念、子群的概念、和不变子群的概念以及子群的判别方法和不变子群的判别方法。重点介绍了群同态概念、群同态的基本定理以及群同态基本定理的运用。利用子群、不变子群以及群同态基本定理推出一系列与同态基本定理相关定理。是同态基本定理的延伸和运用，对群论和群同态的后续研究起到了非常重要的作用。最后通过一系列典型例子进一步讨论了群同态基本定理的运用。关键字：群；子群；不变子群；群同态AlgebraicstructureanditsapplicationwiththestateAbstractThispaperintroducestheconceptsofgrouptheorywhichintroducesthegroupconcept,theconceptofsubgroups,andtheconceptofinvariantsubgroupsandsub-groupdiscriminationmethodandthesamesub-groupdiscriminationmethod.Focusesontheconceptofgrouphomomorphisms,groups,andthefundamentaltheoremofhomomorphismsofthefundamentalgroupoftheapplication.Useofsubgroups,invariantsubgroup,andthefundamentaltheoremofgroupslaunchedaseriesofcorrelationofthefundamentaltheorems.Isthefundamentaltheoremoftheextensionandapplicationofgrouptheoryandgroupfollow-upstudywiththestateplayedaveryimportantrole.Finally,atypicalexampleofagrouptofurtherdiscusstheapplicationofthefundamental.Keywords：group;subgroup;invariantsubgroup;grouphomomorphism目录第一章绪论..................................................................................错误!未定义书签。1.1引言...................................................................................错误!未定义书签。第二章群论的基本概念.........................................................................................52.1群的概念.......................................................................错误!未定义书签。2.2子群、不变子群的判别方法................................错误!未定义书签。2.3同态的概念及基本定理..........................................................................8第三章同态基本定理的运用..................................................................................93.1同态的相关定理.......................................................................................93.2同态同态基本定理的运用.................................................................13结论..........................................................................................................................19致谢..........................................................................................................................20参考文献................................................................................................................21附录X译文...............................................................................................................22附录Y外文原文.......................................................................................................25第一章绪论1.1引言代数结构主要有群、环、域、模等。这些概念大多都是在十九世纪产生的，如群的概念是19世纪30年代由法国青年数学家Galois首先提出的，他在解决用根式求解五次方程时发现了群。他不仅彻底地解决了一元n次方程用根式求解是否可能的问题，而且也使人们认识到除了数集外，在其他集合上也可能存在着代数结构，即满足一定规则的运算，而这种代数结构正是群论。群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类。而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构（G1/kerf≌G2）！在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。第二章群论的基本概念2.1群的概念定义一：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：1.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(ab)c=a(bc)；2.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有ea=a；3.对G中每个元素a在G中都有元素啊a1，叫做a的左逆元，使a1a=e；则称G对代数运算做成一个群。定义二：一个有单位元的半群（G）叫做一个群，如果G的每个元皆为正则元。定义三：如果一个半群（G）有一个左单位元e使ea=a,存在并且，对每一有左逆元，则是一个群定义四：如果（G）是一个半群，若对于G中任意a，b，方程ax=b,ya=b在G中都有解，则G是一个群定义五：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如1．G对于这个乘法来说是封闭的；2．结合律成立：a(bc)=(ab)c对于的任意三个元a,b,c都对；3.对于的G任意两个元来说a,b，方程ax=b和ya=b都在G里面有解定义六：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如1．G对于这个惩罚来说是封闭的；2．结合律成立：a(bc)=(ab)c对于的任意三个元a,b,c都对；3．G里至少存在一个左单位元e，能让ea=e对于的G任何元a都成立；4．对于G的每个元a，在G里至少存在一个左逆元a1，能让a1a=e注：群的定义是多种的，需要根据具体情况而定选择哪一种定义方式，例如验证非空集合G关于一个乘法运算是否作成群，一般必须检验乘法的封闭性、结合律、单位元的存在以及逆元的存在。2.2子群、不变子群的判别方法一、子群的概念：一个群G的一个子集H叫做的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群。二、子群的判别方法定理一：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：1．a,bHabH2.aHa1H定理二：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：3.a,bHab1H定理三：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：a,bHabH三、不变子群的定义：一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说都有Na=aN一个不变子群N的一个左（或右）陪集叫做N的一个陪集。四、不变子群的判别方法定理一：一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是：aNa1=N对于G的任意一个元a都对。定理二：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：aG,nNa1N2.3同态的概念及基本定理一、同态的概念：设G，G是两个群，G到G的一个映射f是G到G的一个同态映射，如果对于任意的a,bG，均有f(ab)=f（a）f(b)。注：（1）若G到G的同态映射f是G到G的满射，则说f是G到G的满同态，记为G～G，这是称G为在f（作用）下G的同态象。（2）若G到G的同态映射f是G到G的单射，则说f是G到G的单一同态。（3）f既是G到G的满同态又是G到G的单一同态，则说f是G到G的同构映射，记为GG。二、同态的基本定理：设G是一个群，则G的一个商群G/N与G同态；反之，若G和G是两个群，并且G和G同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群，并且G/NG。注：定理前一部分告诉我们，一个群G和它的每一个商群同态；定理后面部分告诉我们，抽象的来看，G只能和它的商群同态，所以我们可以说定理后面部分是定理前一部分的反面。我们知道，当群G和G同态的时候，G的性质并不同G的完全一样，但定理后面部分告诉我们，这时我们一定找得到G的一个不变子群N，使得G的性质和商群G/N的完全一样。从这里我们可以看出不变子群和商群的重要意义。第三章同态基本定理的运用3.1同态的相关定理定理一（同态的基本定理）：设G是一个群，则G的一个商群G/N与G同态；反之，若G和G是两个群，并且G和G同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群，并且G/NG。证明：(1)我们规定一个法则aaN(aN)这显然是G到G/N的一个满射，对于G的任意两个元a和b来说，ababN=(aN)(bN)所以它是一个同态映射。(2)我们用f来表示给的同态满射，假定a和b是N的任意两个元，那么在f之下ae，be因此，a1bee1=e这就是说，a，bNa1bNN是G的一个子群，假定nN,aG，而且在f之下，aa那么在f之下aa，neana1aea1=e这就是说，nN,aGana1NN是G的一个子群。现在规定一个法则g:aNa=g(a)(aG)我们说，这是一个G/N与G间同构映射。因为：（1）aN=bN1baNb1a=ea=b这就是说，在g之下G/N的一个元素只有一个唯一的象；