概率统计与随机过程 8.2

§8.2点估计的评价标准对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用什么标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)一致性(2)有效性)ˆ(E定义设),,,(21nXXX是总体X的样本是总体参数的估计量),,,(ˆ21nXXX则称ˆ是的无偏估计量.存在,)ˆ(EΘ都有且对于任意无偏性),,,(21nXXX是总体X的样本,证明:不论X服从什么分布,nikikXnA11是k的无偏估计量.证nikinikikXEnXnEAE11)(1)1()(例1设总体X的k阶矩)(kkXE存在因而niXEkki,,2,1)(由于kknn1特别地,样本二阶原点矩niiXnA1221是总体二阶的无偏估计量)(22XE原点矩是总体期望E(X)的无偏估计量X样本均值例2设总体X的期望E(X)与方差D(X)存在,),,,(21nXXX是X的一个样本,n1(1)不是D(X)的无偏估计量;niinXXnS122)(1(2)是D(X)的无偏估计量.niiXXnS122)(11证212121)(1XXnXXnniinii前已证.证明2)()(,)()(XDXDXEXEiinXDXEXE2)(,)()()()(1)(121212XEXEnXXnEniinii因而)()(2222n221nn212)(11niiXXnE故证毕.例3设),,,(21mXXX是总体X的一个样本,X~B(n,p)n1,求p2的无偏估计量.解由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.npXEX)(令)1()()(12212pnpnpXEXmmiiXXmnnpmii122211因此,p2的无偏估计量为)1()1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(例4设总体X的密度函数为00,01);(xxexfx0为常数),,,(21nXXX为X的一个样本证明X与},,,min{21nXXXn都是的无偏估计量证)(1~XEEX故)()(XEXE是的无偏估计量.X},,,min{21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(~0100zeznz)(nZE故nZ是的无偏估计量.)()()(121zXPzXPzXPnniizXP1))(1(1),,,(1)(21zXzXzXPzFnZ例5设总体X~N(,2),),,,(21nXXX为X的一个样本求常数k,使niiXXk1||为的无偏估计量niiniiXXEkXXkE11||||解注意到XXi是X1,X2,…,Xn的线性函数,niiXXnXXnXX)1(1210)(XXEi21)(nnXXDi21,0~nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|||)(|dzennznnz221201212nn122niiniiXXEkXXkE11||||故nnkn122令)1(2nnk),,,(ˆ2111nXXX都是总体参数的无偏估计量,且)ˆ()ˆ(21DD则称1ˆ2ˆ比更有效.定义设有效性),,,(ˆ2122nXXX所以,X比},,,min{21nXXXn更有效.是的无偏估计量,问哪个估计量更有效？X与},,,min{21nXXXn由前面例4可知,都00,01);(xxexfx0为常数例6设密度函数为),,,(21nXXX为X的一个样本,221}),,,min{(nXXXnDnXD2)(解，例7设总体期望为E(X)=,方差D(X)=2),,,(21nXXX为总体X的一个样本设)1(常数.11niic.,,2,11ninci证明iniiXc11ˆ是的无偏估计量(2)证明Xˆ比iniiXc11ˆ更有效证:(1)niiiniicXEcE111)()ˆ((2)niiiniicXDcD122121)()ˆ(ncnii112)ˆ(1)ˆ(12DnDniinjijiniicnccc1212212)(结论算术均值比加权均值更有效.而njijiniiniicccc1122121例如X~N(,2),(X1,X2)是一样本.2132122112121ˆ4341ˆ3132ˆXXXXXX都是的无偏估计量由例7(2)知3ˆ最有效.罗—克拉美（Rao–Cramer）不等式若ˆ是参数的无偏估计量,则)(),(ln1)ˆ(02DXpnED其中p(x,)是总体X的概率分布或密度函数，称为方差的下界.)(0D当时,称为达到方差下界的无偏估计量,此时称为最有效的估计量,简称有效估计量.)()ˆ(0DDˆˆ例8设总体X的密度函数为00,01);(xxexfx),,,(21nxxx为X的一个样本值.求的极大似然估计量，并判断它是否是达到方差下界的无偏估计量.0为常数解由似然函数niixneL11)(niixnL1ln)(ln21)(lnddniixnL0令xxnnii11ˆ的极大似然估计量为XXnnii11ˆ它是的无偏估计量.nXnDDnii21)1()ˆ(而xxfln),(ln故是达到方差下界的无偏估计量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD0))ˆ(limPn定义设是总体参数的),,,(ˆˆ21nXXX则称ˆ是总体参数的一致(或相合)估计量.ˆ估计量.若对于任意的,当n时,依概一致性率收敛于,即,0一致性估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.关于一致性的两个常用结论1.样本k阶矩是总体k阶矩的一致性估计量.2.ˆ设是的无偏估计量,且,则0)ˆ(limDn是的一致估计量.ˆ由大数定律证明用切贝雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下,极大似然估计具有一致性例900,01);(~xxexfXx0为常数则是的无偏、有效、一致估计量.X证由例8知是的无偏、有效估计量.X)(limXDn0lim2nn所以是的一致估计量,证毕.X