概率统计各大题型总结

主讲：刘朝林《概率论与数理统计》教案之：主要内容•一、全概率与贝叶斯公式•二、一维随机变量及其函数变换•三、二维随机变量及其函数变换•四、数学期望•五、参数估计•六、假设检验一、全概率与贝叶斯公式例题1：已知某批产品的合格率为0.9，检验员检验时，将合格品误认为次品的概率为0.02，而一个次品被误认为合格的概率为0.05。求：1）检查任一产品被认为是合格品的概率；2）被认为合格品的产品确实合格的概率。分析：合格不合格产品分类：检验结果：合格不合格解:设B:“一个产品检查被认为合格品”；A:“产品确实是合格产品”；则构成一个完备事件组，AA与05.0)(,98.0)(1.0)(,9.0)(ABPABPAPAP（1）由全概率公式，一个产品被认为合格的概率为：887.005.01.098.09.0)()()()()()()())(()()(ABPAPABPAPABPBAPABBAPAABPBPBP（2）由贝叶斯公式，被认为合格的产品确实合格的概率为：994.0877.098.09.0)()()()()()(BPABPAPBPABPBAP思考题：某卫生机构的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占90％，不患肺癌的人中吸烟的占20％。据资料表明，患肺癌的人占人群的0.1％，求在吸烟的人中患肺癌的概率。（0.0045）二、一维随机变量及其函数变换例2:设随机变量X具有密度函数:1)求常数a;2)求的密度函数;3)求的密度函数;4)求常数b,使得;5)求在5次独立重复试验中事件出现2次的概率。,[0,1]()0,[0,1]axxfxx121XY22XY5.0}13{bXP解：1）0100112100()10011/212fxdxdxaxdxdxaxdxaxa因故即1111''2)()21121(1)()2()()(())111[(1)]((1))0(1)12221112(1)(1)132221(1),[1,3]()20,[1,3]YXXYYgXXYXxyhyfyhyfhyyfyxyyyyyyfyy因为单值函数故所以：所以：222222211100'3)()(){}{}(0){}()()21,1()2,010,01,[0,1]:()()0,[0,1]YyyyyyYYYfXXFyPYyPXyyPyXyfxdxfxdxxdxyfxdxxdxyyyyfyFyy因故：所以122312/133125.05.0}31{5.0}13{)423102310bbxdxxbXPbXPbb即：故：因：1/41/4032235515){}411{}()24161{}54~(5,1/16),1{}4111510{2}()(1)0.032161616XPXfxdxxdxYXYBXPYC因：每次试验事件出现的概率为：令表示事件在次重复独立试验中所出现的次数，则故事件出现两次的概率为：例3：设二维连续型随机变量的密度函数为：三、二维随机变量及其函数变换yx01(,)0.Ayxfxy其他求：1）常数A；2）X、Y的边缘密度函数；3）判断X与Y是否相互独立；4）的密度函数；5）；6）。()()XYfxfy和ZXY()Zfz1PXY1{max(,)}2PXY解：（1）因为10(,)xxfxydxdydxAdy121002AxdxAxA1A所以注：也可用几何概型的随机实验来求解2）()(,)12,010,Xxxfxfxydydyxx其它11()(,)1,101,010,1,||10,||1Yyyfyfxydxdxyydxyyyyy其它3）因为：所以X与Y不相互独立。121()(0)1(,0)333XYfff4）因为又所以：()(,),XYfzfxzxdx1,(,)0,fxzx0201zxx且其他zx012]2,0[,0]2,0[,21,020,1)(12zzzzdxzfzYX其他5）显然，由问题(4)得：314PXYx01y16）43411}21{}21{1}21,21{121),max(121),max(YPXPYXPYXPYXP2121x0y例4：假设由自动生产线加工的某种零件的内径X（单位：mm）服从，内径小于10mm或大12mm为不合格产品，其余为合格产品。销售一件合格品获利，销售不合格品亏损。已知销售利润T（元/件）与销售零件的内径X有如下关系：四、数学期望)1,(N12,51210,2010,1)(XXXXgT问取何值时平均销售利润最大?解：10121012()(())()()()20()5()1020[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10)5fxXETEgXgxfxdxfxdxfxdxfxdx设为的密度函数，则销售一件产品的平均利润为：利润最大。时销售一件产品的平均因此，，得令：由：利用极值的必要条件，2521ln21112521ln21110221225]5)10(21)12(25[2)10(2)12(22ddETeeddddET例5：设总体X的密度函数为：其中是未知参数，为取自总体X的容量为n的随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。五、参数估计(1),(0,1)()0,(0,1)xxfxx1nXXX,,,21解：的矩估计量是得令：因为：)1()12(ˆ:,21)1()1XXXEXdxxxEX的极大似然估计量是得，令：求导得：取对数得：其它其它作似然函数：niiniiniiiniininiiXnLdxnLdxnLxxxxL11111ln1ˆ0)(lnln1)(lnln)1ln()(ln,010,)1(,010,)1()()2六、假设检验例6：有一批木材小头直径X（单位：cm）服从，按规格要求才能算一等品。现随机抽测100根，计算得小头直径平均值为12.8cm。问能否认为这批木材属于一等品()？)6.2,(2Ncm1205.0为一等品。下，可以认为这批木材水平备择假设，即在显著性故：拒绝原假设，接受本值，得：判断。计算统计量的样）拒绝域为：选择检验统计量：提出统计假设：解：由题意知：总体05.0077.31006.2128.1212464.1)312)212:,12:)18.12,100,6.2)6.2,(~01010222nxuuuuKnXUHHxnNX