常微分方程3.5

§3.4奇解例(通解)另外,y=±R是特解.22222222d(0)dddd()dRyyRxyyyxRyxRyxcRyyxOyRyR定义1已知曲线L:,如果L在其每一点(x(c),y(c))处均与曲线族Φ(x,y,c)=0中对应于参数c的曲线相切,则称曲线L是该曲线族的包络(envelope).定义２微分方程的一个解y=φ(x),x∈J．如果对任何x0∈J，满足初值条件φ(x0)=y0的解不唯一，则称这个解是方程的奇解(singularsolution)．(),()(),xxccyyc●奇解的求法一、c--判别曲线法我们设法求方程F(x,y,y′)=0……①的积分曲线族Φ(x,y,c)=0……②的包络.设L:x=x(c),y=y(c),(α≤c≤β)是②的包络的参数方程.因为参数c对应的点在Φ(x,y,c)=0上,所以有Φ(x(c),y(c),c)≡0(α≤c≤β)……③③式对c求导得④因为在点(x(c),y(c))处包络的切线与积分曲线族中曲线Φ(x,y,c)=0的切线重合.所以()()0xycxcyc⑤⑤代入④得点(x(c),y(c))应满足Φc′(x,y,c)=0……⑥反之,若曲线L:x=x(c),y=y(c)同时满足Φ(x,y,c)=0……②和Φc′(x,y,c)=0……⑥且Φx′2+Φy′2≠0,那么此曲线一定是包络.事实上,②推出③和④,④+⑥及Φx′2+Φy′2≠0推出⑤,所以L:x=x(c),y=y(c)是Φ(x,y,c)=0的包络.()()(,)((),())()()(,)((),())|xxyyxxcyycxyxcycycxcxyxcyc称②和⑥中消去参数c所得的曲线为c--判别曲线.综上讨论:(1)若Φ(x,y,c)=0有包络,则它必包含在c--判别曲线中,但c--判别曲线不一定是包络,如课本P105-106例2;(2)若沿c--判别曲线有Φx′2+Φy′2≠0,则此判别曲线必为包络;(3)Φx′2+Φy′2≠0仅为充分条件.例1求方程的积分曲线族,并求其包络.解令y′=p,则两边对x求导得由得p=x+c,所以通解是222xyyxy22,2xypxpdd2ddd(1)(2)0.dpppppxxxxppxxd1dpx2222()().22xxyxcxxccxc2220.2420cxycxcxyxcc--判别曲线因为Φy′=1≠0,所以Φx′2+Φy′2≠0,因此是积分曲线族的包络,从而是微分方程的奇解.24xy例2求方程的积分曲线族,并求积分曲线族的包络.解令y′=p,则两边对x求导得所以通解是2348927xyyy2348927yxpp288d1()99d8d(1)(1)0.9dppppxpppx28d41,9d9pppxcx234,98,27xpcypc消去参数p得(y+c)2-(x+c)3=0c--判别曲线232()()02()3()04,.27cycxcycxcyxxy经检验y=x不是原方程的解,而是积分曲线的包络,是方程的奇解.427xyO427xyxyyx一、p--判别曲线法如果F(x,y,y′)=0关于x,y,y′连续可微,那么就能保证微分方程解的存在唯一性.因此,如果奇解存在,则它必同时满足:因此如果F(x,y,y′)=0有奇解,那么它必包含在从中消去p而得到的p--判别曲线中.F(x,y,y)=0,F(x,y,y)=0,yF(x,y,p)=0,F(x,y,p)=0,p0yF例3求方程的奇解.22d()1dyyx2210201.pypyp--判别曲线经检验y=±1是原方程的奇解.例4求方程的奇解.2dd2()ddyyyxxx222220.yxppxpyxp--判别曲线经检验不是原方程的解,原方程无奇解.●克莱罗(Clairaut)方程与拉格朗日(Lagrange)方程(1)Clairaut方程:形如y=xp+f(p)的方程称为Clairaut方程(f(p)可微).因它有一些特殊性质,且在几何上有重要应用,故对其作进一步讨论.方程两边对x求导,得由得p=c,所以通解是y=cx+f(c).另外,由x+f′(c)=0,得特解dd(())(())0.ddppppxfxxfxxxd0dpx(),()().xfpypfpfp求解过程与从通解y=cx+f(c)中求包络的过程一样,且Φy′=1≠0,所以,所得结果确为包络,因而是奇解.例1y=xy′-y′2.解是Clairaut方程,通解是y=cx-c2.奇解22202020.4cycxcycxcxcxcxy例2求第一象限中一曲线,使其上每点处的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都为2.解设所求曲线的切线为则由条件ab=4.所以,所求曲线的切线构成一单参数族上式两端对x求导再消去c,即得确定切线族的微分方程1,xyab1,4xaya2.yxyy此为Clairaut方程,通解是这是直线族方程,显然不包括要求的曲线.为此,求它的包络:21122,ycxccxc222201.yccxcxxy(2)Lagrange方程:形如A(p)y+B(p)x=C(p)的方程称为Lagrange方程(A(p)B(p)C(p)可微).设A(p)≠0,则可解出y=φ(p)x+f(p).对x求导得φ(p)=p时,即为Clairaut方程.()()dd()()d()[()()]dd()()d()()()[d].()pppppppppppxpfpxxpfpxpppppfpxeceppp例y=xp2+p2.解对x求导,得所以,通解是222d(22)dd22((1)0)d11(1).(1)pppxppxxxpppppcpxp2222(1),(1),(1)cpxpcpyp消p得当p(p-1)=0时,得y=0和y=x+1.y=0是奇解,而y=x+1已包含在通解中.22(1)(0)((1))(0)..yxcccoryxccc