6北京市2013届中考数学二轮专题突破《代数综合题》(知识概括+典型例题点拨)

专题六┃北京中考代数综合题分析与预测专题六┃京考解读京考解读考情分析方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.年份分值考点2008～2012年北京第23题考点对比20087分根的判别式、求根、构造函数、利用函数图象求取值范围专题六┃京考解读年份分值考点2008～2012年北京第23题考点对比20097分根的判别式、求整数根、二次函数图象的平移、翻折、利用函数图象求取值范围20107分确定反比例函数解析式、旋转点的坐标、代数式变形求值20117分根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式20127分根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数、一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围专题六┃京考解读京考解读与指导►热考一求解含字母系数的一元二次方程例1[2008·北京]已知：关于x的一元二次方程mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1x2)．若y是关于m的函数，且y＝x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m.1．根的判别式为完全平方数(式)专题六┃京考解读解：(1)证明：∵mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0是关于x的一元二次方程，∴Δ＝[－(3m＋2)]2－4m(2m＋2)＝m2＋4m＋4＝(m＋2)2，∵当m0时，(m＋2)20，即Δ0.∴方程有两个不相等的实数根.专题六┃京考解读(2)由求根公式得x＝（3m＋2）±（m＋2）2m.∴x＝2m＋2m或x＝1.∵m0，∴2m＋2m＝2（m＋1）m1.∵x1x2，∴x1＝1，x2＝2m＋2m.∴y＝x2－2x1＝2m＋2m－2×1＝2m.即函数解析式为y＝2m(m0)．专题六┃京考解读(3)在同一平面直角坐标系中分别画出y＝2m(m0)与y＝2m(m0)的图象如图．由图象可得，当m≥1时，y≤2m.专题六┃京考解读一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac以及求根公式x＝－b±b2－4ac2a(Δ≥0)是一元二次方程与二次函数的结合点．很多代数综合题中，一般都围绕一元二次方程的根展开讨论．而出现在代数综合题中的一元二次方程一般都会是含有字母系数的形式，所以会求含有字母系数的一元二次方程的根是突破此类题的关键．专题六┃京考解读当根的判别式是完全平方数(式)时，学生只需准确识别出二次项系数、一次项系数和常数项，直接由求根公式求得方程的根.如果根的判别式是完全平方数(式)时，我们还可以采用十字相乘法分解二次三项式求解．如例1中的方程mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0可转化成x－1mx－（2m＋2）＝0求解．专题三┃京考解读例2[2012·延庆二模]已知：关于x的一元二次方程mx2－(2m＋2)x＋m－1＝0.(1)若此方程有实根，求m的取值范围；(2)在(1)的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；(3)在(2)的前提下，二次函数y＝mx2－(2m＋2)x＋m－1的图象与x轴有两个交点，联结这两点，并以联结这两点的线段为直径在x轴的上方作半圆P，设直线l的解析式为y＝x＋b，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．2．根的判别式不是完全平方数(式)专题六┃京考解读解：(1)∵关于x的一元二次方程有实根，∴m≠0，且Δ≥0，∴Δ＝(2m＋2)2－4m(m－1)＝12m＋4≥0，解得m≥－13.∴当m≥－13且m≠0时此方程有实根．(2)∵在(1)的条件下，且m取最小的整数，∴m＝1，∴原方程化为x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝4.专题六┃京考解读(3)如图所示：①当直线l经过原点O时与半圆P有两个交点，即b＝0；②当直线l与半圆P相切于D点时有一个交点，如图．由题意可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，∵DP＝2，∴EP＝22，∴OC＝22－2，即b＝22－2，∴当0≤b＜22－2时，直线l与半圆P只有两个交点．专题六┃京考解读当根的判别式不是完全平方数(式)时，学生仍需准确识别出二次项系数、一次项系数和常数项，由求根公式求出方程的根的表达式．再根据题目中给定的条件，确定字母系数的取值范围，用穷举法检验方程的根需要满足的条件，从而确定字母系数的值和方程的根．专题六┃京考解读例3[2012·房山二模]已知：关于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3＝0.(1)当m取何整数值时，关于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3＝0的根都是整数；(2)若抛物线y＝mx2－3(m－1)x＋2m－3向左平移一个单位后，过反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上的一点(－1，3)，①求抛物线y＝mx2－3(m－1)x＋2m－3的解析式；②利用函数图象求不等式kx－kx0的解集．3．一元二次方程的根为整数根专题六┃京考解读解：(1)当m＝0时，x＝1;当m≠0时，Δ＝9(m－1)2－4m(2m－3)＝(m－3)2，x＝3（m－1）±（m－3）22m，可解得x1＝1，x2＝2m－3m＝2－3m，∴m＝±1，±3时，x均有整数根．综上可得m＝0，±1，±3时，x均有整数根．专题六┃京考解读(2)①∵抛物线向左平移一个单位后得到抛物线y＝m(x＋1)2－3(m－1)(x＋1)＋2m－3.将点(－1，3)的坐标代入，解析式解得m＝3，∴抛物线的解析式为y＝3x2－6x＋3.②将(－1，3)代入y＝kx，得k＝－1×3＝－3.画出函数y＝－3x和函数y＝－3x的图象如图．∴x1或－1x0.专题六┃京考解读整数根问题解答：(1)用字母系数表达出方程的两根；(2)字母系数的取值必须使得根的判别式的值是一个完全平方数(式)；(3)在字母系数的取值范围内，用穷举法检验方程两根是否为整数，从而确定字母系数的值和方程的根．如果方程的根的判别式是一个完全平方式时，方程的根可能为分式，可对分式进行拆项变形，再进行讨论会比较简便．如本题中的2m－3m拆项成2－3m，易得m能被3整除，∴m＝±1，±3.专题六┃京考解读►热考一代数式变形例4[2010·北京]已知反比例函数y＝kx的图象经过点A(－3，1)．(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；(3)已知点P(m，3m＋6)也在此反比例函数的图象上(其中m0)，过P点作x轴的垂线，交x轴于点M.若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是12，设Q点的纵坐标为n，求n2－23n＋9的值．专题六┃京考解读解：(1)由题意得1＝k－3，解得k＝－3.∴反比例函数的解析式为y＝－3x.(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点D.专题六┃京考解读在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝1，可得OA＝OC2＋AC2＝2，∠AOC＝30°.由题意，∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝60°.在Rt△BOD中，可得BD＝3，OD＝1.∴B点坐标为(－1，3).将x＝－1代入y＝－3x中，得y＝3.∴点B(－1，3)在反比例函数y＝－3x的图象上.专题六┃京考解读(3)由y＝－3x得xy＝－3.∵点P(m，3m＋6)在反比例函数y＝－3x的图象上，其中m0，∴m(3m＋6)＝－3.∴m2＋23m＋1＝0.∵PQ⊥x轴，∴Q点坐标为(m，n)．∵△OQM的面积是12，∴12OM·QM＝12.∵m0，∴mn＝－1.又易知m2n2＋23mn2＋n2＝0.∴n2－23n＝－1.∴n2－23n＋9＝8.专题六┃京考解读代数式恒等变形的方法有因式分解法、配方法、消元法等．在代数综合题中，对代数式进行恒等变形的目的是将它变换成与已知条件相同的一种形式，再将已知条件整体代入求值，所以合理选择变形的前提是观察，要结合已知、所求，联想公式，进行细致的观察和思考．专题六┃京考解读►热考三函数图象变换例5[2012·丰台一模]已知：关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4＝0.(1)求证：这个方程有两个不相等的实数根；(2)当抛物线y＝x2－2mx＋m2－4与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1，将图形C1向右平移一个单位，得到图形C2，当直线y＝x＋b(b0)与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围．专题六┃京考解读解：(1)证明∵Δ＝(－2m)2－4(m2－4)＝16＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根．(2)由题意可知y轴是抛物线的对称轴，∴－2m＝0，解得m＝0.∴此抛物线的解析式为y＝x2－4.(3)如图，当直线与C2交于A(－1，0)时，b＝1；当直线与C2交于B(3，0)时，b＝－3，∴－3＜b＜1.专题六┃京考解读函数的图象与性质是中考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用．(1)要掌握绘制函数草图的方法，草图要尽量准确，一般定开口、顶点、与两轴交点；专题六┃京考解读(2)掌握多种函数图象进行平移、轴对称、旋转变换的一般规律，直线和双曲线的变换相对简单，抛物线的变换一看顶点位置，二看开口方向；(3)利用两个函数图象的交点求自变量的取值范围和解不等式．