数列的极限讲解

第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、收敛准则上一页目录下一页退出引例设有半径为R的圆,用其内接正n边形的面积An逼近圆面积S.——刘徽割圆术(公元三世纪)概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS上一页目录下一页退出2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111上一页目录下一页退出一、数列极限的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n上一页目录下一页退出注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3上一页目录下一页退出随着n趋于无穷,数列的通项有以下两种变化趋势:时的变化趋势：当观察上述数列n可以看到,(1)通项无限趋近于一个确定的常数;(2)通项不趋近于任何确定的常数.问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:上一页目录下一页退出,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx上一页目录下一页退出定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数N上一页目录下一页退出x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使上一页目录下一页退出数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：上一页目录下一页退出例2.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0上一页目录下一页退出例3.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn上一页目录下一页退出例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证,0任给.limaxnn故,limaxnn,1axNnNn时恒有使得当axaxaxnnn从而有aaxna1上一页目录下一页退出例4-1证.1lim1nnaa时，证明当注意到.1na,0为了使1na.1na,01nna令于是a=nn)1(nnnn1nnnn1naλn因此,,εan,aN取则当nN时,有nnλa1nna1..1limnna即只要使,εna二、收敛数列的性质1、有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界上一页目录下一页退出收敛数列的有界性nx如果数列收敛,那么数列nx一定有界.问题对于无限多项，...),2,1(nxn如何求M？M可取}.1,,...,,max{21axxxN定理1收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.上一页目录下一页退出关系：收敛有界nxnx注极限的唯一性2、唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;1axNnn时恒有当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.上一页目录下一页退出例5.)1(1是发散的证明数列nnx证,limaxnn设由定义,,21对于,21,,成立有时使得当则axNnNn),21,21(,aaxNnn时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内..,}{,但却发散是有界的事实上nx上一页目录下一页退出3、保号性定理3若=a,a＞0（或a＜0），则N＞0,当n＞N时,＞0（或＜0）.limnnxnxnx证由极限定义，对，，当时，，即，故当时，.类似可证的情形.02a0NnN2naxa322naxanN02nax0a上一页目录下一页退出3、子数列的收敛性的子数列（或子列）．的一个数列称为原数列到中的先后次序，这样得这些项在原数列保持中任意抽取无限多项并定义：在数列nnnxxx,,,,,21nixxxx,,,,21knnnxxx.knxxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列注意：例如，上一页目录下一页退出定理4收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证的任一子数列．是数列设数列nnxxk,limaxnn.,,0,0axNnNn恒有时使,NK取,时则当Kk.NnnnKkk.axkn.limaxknk证毕．上一页目录下一页退出定义5数列{xn}的项若满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,则称数列{xn}为单调增加数列;若满足x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,则称数列{xn}为单调减少数列;当上述不等式中等号都不成立时,则分别称{xn}是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则单调增加且有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限.三、收敛准则上一页目录下一页退出.})11{(,)111()11(,111,11])1[())(1())((,0.})11{(.})11{(5111111是单调增加的即数列得代入取即有时当单调增加且有上界只需证明证收敛证明数列例nnnnnnnnnnnnnnnnnnbnabnabnaabanbabbaabababann上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.上一页目录下一页退出一、利用数列极限的定义证明:1、231213limnnn；2、19....999.0limn二、设数列nx有界，又0limnny，证明：0limnnnyx.练习题上一页目录下一页退出