数学建模之遗传模型

遗传模型1.常染色体遗传2.X—链遗传遗传模型•随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对确定了后代所表现的特征。常染色体遗传模型•在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。常染色体遗传模型•例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa型的开粉红色花，而aa型的开白花。又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是AA或Aa的人，眼睛为棕色，基因型是aa的人，眼睛为蓝色。常染色体遗传模型•这里因为Aa和AA都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可认为基因a对于A来说是隐性的。当一个亲体的基因型为Aa，而另一个亲体的基因型是aa，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa型中得到基因A，或得到基因a。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等常染色体遗传模型•下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其后代形成每种基因型的概率：父体——母体的基因型AA－AAAA－AaAA－aaAa－AaAa－aaaa－aa后代基因型AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21常染色体遗传模型•农场的植物园中某种植物的基因型为AA，Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？常染色体遗传模型•假设：(1)设an，bn和cn。分别表示第n代植物中，基因型为AA，Aa和aa的植物占植物总数的百分率。令x(n)为第n代植物的基因型分布：()nnnnaxbcx(0)表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布)，显然有an+bn+cn=1常染色体遗传模型•(ii)第n-1代的分布与第n代的分布关系是通过上表确定的：常染色体遗传模型•建模：根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型与AA型结合，后代全部是AA型：第n-l代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为1、2，而第n－l代的aa型与AA型结合，后代不可能是AA型。因此当n=1，2，3……..•an＝1an－1+1/2bn－1+0cn－1常染色体遗传模型•模型讨论：•若在上述问题中，不选用因型AA植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代所具有三种基因型的概率由下表给出：父体——母体的基因型AA－AAAa－Aaaa－aa后代基因型AA11/40Aa01/20aa01/41常染色体隐性病模型•现在世界上已经发现的遗传病将近4000种。在一般情况下，遗传疾病是与特殊的种族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。常染色体隐性病模型•假若我们能识别这些疾病的隐性患者，并且规定隐性患者不能结合(因为两个隐性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者)，那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不会出现显性特征，不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率。常染色体隐性病模型•假设•(i)常染色体遗传的正常基因记为A，不正常基因记为a，并以AA，Aa，aa分别表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型•(ii)设an，bn分别表示第n代中基因型为AA，Aa占总人数的百分数，记()nnnaxb常染色体隐性病模型•(iii)为使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲，因此正常人或隐性患者必须与正常人结合，其后代的基因型概率由表给出：父体——母体的基因型AA－AAAA－Aa后代基因型AA11/4Aa01/2aa01/4常染色体隐性病模型•建模•由假设(iii)，从第n-1代到第n代基因型分布的变化取决于方程……常染色体隐性病模型•模型讨论•研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线性化问题，超出范围，X—链遗传模型•X—链遗传是指雄性具有一个基因A或a，雌性具有两个基因AA，或Aa，或aa。其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与X—链遗传有关的近亲繁殖过程。X—链遗传模型•假设•(i)从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。•(ii)父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有(A，AA)，(A，Aa)，(A，aa)，(a，AA)，(a，Aa)，(a，aa)。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型中的任一种，其后代的基因型由表给出。X—链遗传模型父体一母体的基因型（A,AA）(A,Aa)(A,aa)(a,AA)(a,Aa)(a,aa)后代基因型A11/2011/20a01/2101/21AA11/20000Aa01/2111/20aa00001/21X—链遗传模型•(iii)在每一代中，配偶的同胞对也是六种类型之一，并有确定的概率。为计算这些概率，设an，bn，cn，dn，en和fn分别是第n代中，配偶的同胞对为(A，AA)，(A，Aa)，(A，aa)，(a，AA)，(a,Aa)，(a，aa)型的概率，n=0，1，…。令•x(n)=(an，bn，cn，dn，en，fn)T，n=0，1，…X—链遗传模型•(iv)如果第n－1代配偶的同胞对是(A，Aa)型，那么它们的雄性后代将等可能地得到基因A或a，它们的雌性后代的基因型将等可能地是AA或A。又由于第n代雌雄结合是随机的，那么第n代配偶的同胞对将等可能地为四种类型(A，AA)，(A，Aa)，，(a，AA)，(a,Aa)之一。其他类似可分析